Espacios vectoriales de dimensión finita o infinita

Question

¿Qué propiedades conocidas e intuitivas de los espacios vectoriales de dimensión finita fallan en las dimensiones infinitas?

Por ejemplo:

1. En infinitas dimensiones existen mapas lineales no continuos.

2. En dimensiones infinitas siempre $\dim V <\dim V^*$ y, en particular, $V\not\simeq V^{**}$ .

Answer 1

Al menos siguen teniendo una base, ¿o no? Una base de $\mathbb R$ como $\mathbb Q$ -espacio no puede escribirse explícitamente y requiere en gran medida el axioma de elección.

Answer 2

Para simplificar, todos los espacios vectoriales en lo que sigue son sobre $\mathbb{C}$ o algún campo completo.

Todas las normas de un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes. Esto no es cierto para espacios vectoriales de dimensión infinita sobre (considere $L^p$ normas). Creo que esto viene del hecho de que la bola unitaria es compacta para un espacio lineal normado de dimensión finita (NLS), pero no en NLS de dimensión infinita.

La topología débil en un espacio vectorial de dimensión finita es equivalente a la topología de la norma. Esto es siempre falso para los espacios vectoriales de dimensión infinita. En general, hay muchas topologías de interés en un espacio vectorial de dimensión infinita, pero sólo una de interés en un espacio de dimensión finita (desde la perspectiva del álgebra lineal/análisis funcional).

Existe una medida invariante de traslación no trivial para espacios vectoriales de dimensión finita (digamos sobre $\mathbb{C} $ o $ \mathbb{R}$ la medida de Lebesgue). Esto no es cierto para un espacio de Hilbert de dimensión infinita (la bola unitaria tiene infinitas traslaciones disjuntas de una bola de radio $\sqrt{2}/4$ ).

Esta es una propiedad de los operadores acotados en una NLS: El espectro de un mapa lineal $T:V \to V$ (el conjunto de $\lambda\in \mathbb{C}$ tal que $T-\lambda I$ no es invertible) consiste precisamente en los valores propios de $T$ . Sin embargo, si $V$ es de dimensión infinita, entonces $T-\lambda I$ puede no ser invertible aunque $\lambda$ no es un valor propio.

Answer 3

Un espacio vectorial de dimensión infinita puede ser isomorfo a uno de sus subespacios propios ( $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ como espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ ).

Answer 4

También si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces el álgebra $\operatorname{End}(V)$ no tiene un número no trivial de $2$ -ideales. Para $V$ infinitas dimensiones, $\operatorname{End}(V)$ tiene la debida $2$ -que consiste en endomorfismos de rango finito.

Answer 5

Un operador lineal en un espacio vectorial finito es inyectivo si y sólo si es suryente (por el teorema de Rank-Nullity). Esto es falso en los espacios de dimensión infinita. Por ejemplo, consideremos un espacio $V$ con una base contable $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ y tomar el operador de desplazamiento hacia adelante $S$ definido por $Se_i = e_{i+1}$ . Esto es inyectivo pero no subjetivo. El operador de desplazamiento hacia atrás $S'$ definido por $S'e_i=e_{i-1}$ (definir $e_0=0$ ) es sobreyectiva pero no inyectiva.

Otra cosa interesante a tener en cuenta son los conmutadores. En un espacio de dimensiones finitas nunca se pueden tener operadores $P,Q$ satisfaciendo $PQ-QP= \mathrm{id}_V$ (tomando la traza se obtiene una contradicción). Pero esto es posible en infinitas dimensiones. Por ejemplo, dejemos que $V$ sea el anillo polinómico $k[x]$ para un campo $k$ y que $Pf=\frac{d}{dx}f$ y $Qf=xf$ . (Ver palabra clave Álgebra de Heisenberg .)