Problemas sobre consecutivos semiprimes

Question

Yo estaba jugando con el semi-números primos y he hecho dos conjeturas, las cuales son:

1. Dado cualquier entero $a$, al menos uno de $a,(a+1),(a+2)$ o $(a+3)$ no es semi-prime.

2. Hay infinitamente muchos enteros $a$, de tal manera que $a,(a+1)$ $(a+2)$ son semi-números primos.

He escrito un programa de ordenador para comprobar las conjeturas para valores de hasta 700,000 (por lo tanto, hay una alta probabilidad de que ambas sean verdaderas).

¿Alguien puede dar una prueba o contraejemplo para cualquiera de estos problemas, o un enlace a un artículo sobre el tema?

Gracias!

Answer 1

No son estándar, pero sin esperanza, las conjeturas en la Teoría de los números que implicaría, por ejemplo, que hay una infinidad de $a$ tal que $a=3p$, $a+1=2q$, y $a+2=5r$ donde $p,q,r$ son todos primos. Una búsqueda para el prime $k$-tuplas conjetura debe empezar en la literatura.

Alguna idea de la situación actual se puede extraer de Daniel A. Goldston, Sidney W. Graham, Janos Pintz y Cem Y. Yildirim, Pequeños espacios Entre los números Primos, la Paridad Problema, y Algunas Conjeturas de Erdős en números Enteros Consecutivos, Int Matemáticas Res No el Volumen De 2011, número 7, Pp. 1439-1450, posiblemente disponible en http://imrn.oxfordjournals.org/content/2011/7/1439.short.