Prueba de factor determinante de la fórmula

Question

Acabo de empezar a aprender a construir pruebas. Es decir, yo no soy muy bueno en eso (aún). En este hilo voy a trabajar a través de un problema de mi libro de texto de Álgebra Lineal. Primero voy a dar mi "solución" y luego, con suerte, usted me puede decir donde me salió mal. Si mi prueba de la estrategia para este caso está mal que me encantaría saber por qué está mal (si es posible) ya que creo que es como voy a ser mejor :)

Mi libro de texto dice a menudo una buena prueba de la estrategia de los diferentes determinantes de las fórmulas es por inducción Matemática y creo que también funciona en este caso, pero como he dicho antes, no soy demasiado buena en la construcción de pruebas todavía.

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Problema:

Deje $X, Y$ columna-vectores. Mostrar que $det(I+XY^T)=1+Y^TX$, donde el último producto se interpreta como un número.

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Ok, así que aquí está mi intento de resolver el problema:

La prueba de la estrategia: la Inducción

1. Caso Base:

La afirmación es verdadera cuando n=2, ya que: $$I=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), XY^T=\left( \begin{array}{ccc} x_1y_1 & x_1y_2 \\ x_2y_1 & x_2y_2 \end{array} \right)$$

y

$|I+XY^T|=\begin{vmatrix} x_1y_1+1 & x_1y_2\\ x_2y_1 & x_2y_2+1 \end{vmatrix}$

Cuando expandimos el determinante, obtenemos:

$(x_1y_1+1)(x_2y_2+1)-x_1y_2x_2y_1= 1+(x_1y_1x_2y_2+x_1y_1+x_2y_2-x_1y_2x_2y_1)=1+(x_1y_1+x_2y_2)=1+Y^TX$

2. inducción hipótesis:

Supongamos que es cierto para el valor de $n-1$ y ahora quiero probar que es cierto para n.

3. El paso inductivo:
$det(I+XY^T)=x_1y_1+x_2y_2+...+x_{n-1}y_{n-1}+x_ny_n + 1$

Y aquí es donde yo bastante atascados. No sé a dónde ir desde aquí. Es un poco difícil para mí entender la idea detrás de la inducción matemática. Yo no sé realmente qué hacer cuando llego a este paso. ¿Qué puedo hacer para terminar la prueba? (bueno, si lo que he hecho hasta ahora es correcto, que es).

Answer 1

Los "agujeros-excavación" método podría ser interesante para probar esto.

Por un lado, cavar un agujero en la esquina inferior izquierda de $A$, $$A := \begin{bmatrix}I & X \\ -Y^T & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ Y^T & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I & X \\ 0 & 1 + Y^TX\end{bmatrix}$$ Tomar determinantes en ambos lados para tener $\det(A) = \det(I)\det(I + Y^TX) = \det(1 + Y^TX)$.

Por otro lado, cavar un agujero en la esquina superior derecha de $A$, $$A = \begin{bmatrix}I & X \\ -Y^T & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & X \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I + XY^T & 0 \\ -Y^T & 1 \end{bmatrix}$$ Tomar determinantes en ambos lados para tener $\det(A) = \det(I + XY^T)\det(1) = \det(I + XY^T)$. Por lo tanto, $\det(1 + Y^TX) = \det(I + XY^T)$.

Answer 2

Su caso base es sólida. Me gustaría sugerir que usted toma un enfoque diferente para la construcción de la prueba. Hacer esto de forma inductiva es probable que sea bastante desordenado. Se rompen en los casos de:

1. $x = 0$ o $y = 0$. En este caso, el teorema es bastante claro (espero!).

2. $x \ne 0$. En este caso, se puede establecer $x_1 = x$ y extender a una base $$ x_1, \ldots x_n$$ where the $x_i$ are pairwise perpendicular. If you then express $x$ and $s$ in this basis, it's relatively easy to write out the proof. And expressing it in that basis means replacing $I + x^t y$ with $Q (I + x^t y) P^{-1}$, where $P$ es un cambio de base de la matriz, por lo que no cambia el determinante, etc.