$K=Q(\zeta_n)$ un cyclotomic extensión: $p$ se divide completamente en $K$ si y sólo si $p\equiv 1\ (mod\ n)$
No sé cómo he podido demostrar, la búsqueda de un tipo de cyclotomic de la ley de reciprocidad
Muchas gracias
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babubba
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Por un resultado de Dedekind—ver este Keith Conrad folleto para más detalles—la descomposición de la $p$ $\mathbf Z[\zeta_n]$ está determinado por la factorización de la $n$-th cyclotomic polinomio $\Phi_n(X)$ modulo $p$. Supongamos que $p \equiv 1 \bmod n$. Desde $X^n - 1$ ha derivado $nX^{n - 1}$$p\nmid n$, sabemos que la reducción de $\Phi_n$ es separable y, por tanto, $p$ no se ramifican. Vemos también que la reducción de los mapas de la $n$-th raíces de la unidad en la $\mathbf Z[\zeta_n]$ bijectively en aquellos en $\mathbf Z[\zeta_n]/\mathfrak p$ cualquier $\mathfrak p$ está por encima $p$.
Por lo que sigue siendo para demostrar que la reducción de la $\bar\Phi_n$ se divide por completo. Pero $n$ divide al orden del grupo cíclico $\mathbf F_p^* = (\mathbf Z/p\mathbf Z)^*$ y por lo tanto el residuo campo de $p$ ya contiene el $n$-th raíces de la unidad, que genere $\mathbf Z[\zeta_n]/\mathfrak p$$\mathbf F_p$. A la inversa, parece usar las mismas ideas—voy a tratar de explicarlo más adelante.
Efectivamente, hay más ley general para la forma de los números primos dividir en cyclotomic extensiones. La parte superior de mi cabeza esto se explica en madera de Abedul del artículo en Cassels y Frölich, pero tal vez pueda encontrar algo en línea.
