Hallar la razón de las áreas producido por perpendiculares de la $3$ lados de un triángulo equilátero.

Question

Un punto O está dentro de un triángulo equilátero $PQR$ y el perpendiculares $OL,OM,\text{and } ON$ son atraídos a los lados $PQ,QR,\text{and } RP$ respectivamente. La proporción de las longitudes de las perpendiculares $OL:OM:ON \text{ is } 1:2:3$.

Si $\ \dfrac{\text{area of }LONP}{\text{area of }\Delta PQR}=\dfrac{a}{b}, \quad$ donde $a$ y $b$ son enteros sin factores comunes,

¿cuál es el valor de $a+b$ ?

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Todo lo que yo era capaz de hacer es:

Área de $LONP=\frac{1}{2} |OL||PL|+\frac{1}{2} |NP||ON|=\frac{1}{2} |OL||PL|+\frac{1}{2} |NP|\ 3|OL|=\frac{1}{2} |OL|\ \left[\ |PL|+3|NP|\ \right]$

Área de $PQR=\frac{1}{2} |PR||PQ|\sin 60^o=\frac{\sqrt 3}{4} |PR||PQ|=\frac{\sqrt 3}{4} |NP+RN||PL+LQ|=\frac{\sqrt 3}{4} \left[\ |NP|+|PL|+|RN|+|LQ| \ \right]$

Área de $\Delta LON=\frac{1}{2} |ON||OL|\sin 120=\frac{\sqrt 3}{4} |OL|\ 3|OL|=\frac{3\sqrt 3}{4} |OL|^2$

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$\mathbf{EDIT : }$Siguiente Suraj M. S 'S respuesta :

$$\begin{align} \text{Area } \Delta PQR &=\dfrac{3x\ RN}{2}+\dfrac{3x\ PN}{2}+\dfrac{x\ PL}{2}+\dfrac{x\ QL}{2}+ {x\ QM}+{x\ MR} \\ \\ &=\dfrac{3x\ (PN+RN)}{2}+\dfrac{x\ (PL+QL)}{2}+{x\ (QM+MR)}\\ \\ &=\dfrac{3x\ (PR)}{2}+\dfrac{x\ (PQ)}{2}+{x\ (QR)}\\ \\ &=kx(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}+{1})=3kx\\ \end{align}$$ Área de $\Delta PQR=\dfrac{1}{2} k^2 \sin 60^o=\dfrac{k^2 \sqrt 3}{4} \implies x=\dfrac{k}{4\sqrt 3}$

$\mathbf{Question: }$¿Cómo puedo encontrar ahora el área de $LONP$ en términos de $x'$s y/o $k'$s sólo ?

Answer 1

Aquí es un enfoque diferente.

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Hecho bien conocido. La suma de las distancias de un punto interior a los lados de un triángulo equilátero es igual a la altura de ese triángulo.

Prueba (en el caso de que usted nunca ha visto). El uso actual de nuestro triángulo, la escritura $s$ de sus lados de longitud, y $h$ de su altura: $$\frac{1}{2} s h = |\triangle PQR| = |\triangle OPQ| + |\triangle OQR| + \triangle ORP| = \frac{1}{2} s(|\overline{OL}|+|\overline{OM}|+|\overline{ON}|)$$

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Desde el Hecho, y el de proporcionalidad de la condición, tenemos $$|\overline{OL}| : |\overline{OM}| : |\overline{ON}| : h \;=\; 1 : 2 : 3 : (1+2+3) \;=\; 1:2:3:6 \quad (\star)$$

Ahora, a través de $O$, dibujar líneas paralelas a los lados del triángulo para crear tres nuevos triángulos equiláteros de que $\overline{OL}$, $\overline{OM}$, $\overline{ON}$ se altitudes; llamar a estos $\triangle L$, $\triangle M$, $\triangle N$, con la cara longitudes $\ell$, $m$, $n$.

Observar que $(\star)$ implica $$\begin{align} \ell : m : n : s \;&=\; 1 : 2 : 3 : 6\\[4pt] |\triangle L| : |\triangle M| : |\triangle N| : |\triangle PQR| \;&=\; 1 : 4 : 9 : 36 \end{align}$$

Las líneas también crear un paralelogramo con las diagonales $\overline{OP}$ (y los de otros con diagonales $\overline{OQ}$$\overline{OR}$); la llamada es $\square P$.

Entonces $$\begin{align} |LONP| &= |\square P| + \frac{1}{2}|\triangle L| + \frac{1}{2}|\triangle N| \\[4pt] &= n |\overline{OL}| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{36}|\triangle PQR| + \frac{1}{2}\cdot\frac{9}{36}|\triangle PQR| \\[4pt] &= \frac{3}{6}s \cdot \frac{1}{6} h + \frac{5}{36}|\triangle PQR| \\[4pt] &= \frac{1}{6} |\triangle PQR| + \frac{5}{36}|\triangle PQR| \\[4pt] &= \frac{11}{36} |\triangle PQR| \end{align}$$

Por eso, $\frac{a}{b}=\frac{11}{36}$, con lo cual,$a+b=47$.

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He aquí un impermeable de la ruta a la relación del área. Deje $\overline{Q^\prime R^\prime}$ ser el segmento agregado a través de $O$ paralelo a $\overline{QR}$, y deje $P^\prime$ ser el pie de la perpendicular de $P$ a ese segmento.

Entonces $$\begin{align} |\overline{PP^\prime}| + |\overline{OM}| = h \quad &\implies \quad |\overline{PP^\prime}|:h = (6-2):6 = 2:3 \quad \\[4pt] &\implies \quad |\triangle PQ^\prime R^\prime| :|\triangle PQR| = 4:9 \end{align}$$

así que

$$\begin{align} |LONP| &= |\triangle PQ^\prime R^\prime| - \frac{1}{2}|\triangle L| - \frac{1}{2}|\triangle N| \\[4pt] &= \frac{4}{9}|\triangle PQR| - \frac{5}{36}|\triangle PQR| \\[4pt] &= \frac{11}{36}|\triangle PQR| \end{align}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Deje $OL, OM, ON$ $x, 2x, 3x$ respectivamente . Ahora usted podrá observar $$area(\triangle PQR) = area(\triangle ONR) +area(\triangle ORM)+area(\triangle OMQ)+area(\triangle OQL)+area(\triangle OPL)+area(\triangle OPN)$$ ya que estos son en ángulo recto, y asumiendo $k$ a ser el lado del triángulo que se obtendrá el área resultante como $$area(\triangle PQR)=3kx$$ equiparación con los habituales de la zona $$3kx=\frac{\sqrt{3}k^2}{2}$$ tenemos $$x=\frac{\sqrt{3}k}{6}$$ con la ayuda de $x$ obtendrá $OL, OM, ON$.

Ahora vamos a $\angle NPO=\theta$$\angle OPL=60^\circ-\theta$. con la ayuda de los lados de encontrar $\frac{\sin \theta}{\sin (60^\circ-\theta)}$ usted obtener $$ \frac{\sin\theta}{\sin (60^\circ-\theta)}=\frac{ON}{OL}=3$$ la solución para $\theta$ $$\tan \theta=\frac{3\sqrt{3}}{5}$$ con la ayuda de $\tan$ obtener $NP=\frac{5}{6}k$ ahora más que usted puede conseguir $PL$ intercambiando los ángulos $\theta$ $60^\circ-\theta$ y una vez más la solución de llegar el nuevo $\theta$ $$\tan \theta=\frac{\sqrt{3}}{7}$$ utilizando el mismo método de búsqueda de $NP$$PL$. $$PL=\frac{7}{6}k$$ ahora hemos encontrado a todos nuestros necesaria incógnitas. $$a=area(\triangle NOP)+area(\triangle POL)$$ $$=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}k}{2}.\frac{5k}{6}+ \frac{\sqrt{3}k}{6}.\frac{7k}{6} )$$ $$a=\frac{11\sqrt{3}k^2}{72}$$ también $$b=\frac{\sqrt{3}k^2}{2}$$ resolver consigue $$\frac{a}{b}=\frac{11}{36}$$ $$a+b=\left(\frac{a}{b}+1\right)b$$ que resuelve a $$a+b=\frac{47\sqrt{3}k^2}{72}$$ donde $k$ es el lado del triángulo equilátero.