Sea $U_1 \cong Spec(K[t])$ y $U_2\cong Spec(K[t])$ sea una cubierta afín estándar de una recta proyectiva $\mathbb{P^1}(K)$ donde $K$ es algún campo. Denotemos la incrustación abierta como $j_k$ $$ j_k : U_k \to \mathbb{P^1}(K), k=1,2. $$ ¿Es correcto que $R^i(j_k)_*=0$ pour $i > 0$ (porque $j_k$ es un mapa afín)? ¿Cómo se puede describir explícitamente $(j_k)_* \mathcal{O}_{U_k}$ ? ¿Estoy en lo cierto $(j_k)_* \mathcal{O}_{U_k}$ ¿es una gavilla cuasi coherente, pero no coherente?
Respuesta
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Sí, $j_k$ es un morfismo afín (como toda inclusión de un abierto afín en un esquema separado), y para un morfismo afín $f$ de la descripción local se desprende que $f_*$ es exacta, por lo que $R^i f_* = 0$ pour $i>0$ .
Para la descripción explícita en el caso especial que ha mencionado, dejemos que $R$ sea un anillo arbitrario (en realidad lo mismo sirve para un esquema de base arbitrario) y escribamos $U_1 = \mathrm{Spec~} R[t]$ y $U_2 = \mathrm{Spec~} R[t^{-1}]$ para la cubierta abierta afín habitual de $\mathbb{P}^1_R$ . Entonces existe una equivalencia de categorías entre $\mathsf{Qcoh}(\mathbb{P}^1_R)$ y la categoría de triples $(M,N,\alpha)$ donde $M$ es un $R[t]$ -módulo, $N$ es un $R[t^{-1}]$ -y $\alpha$ es un isomorfismo de $R[t,t^{-1}]$ -módulos $M_t \cong N_{t^{-1}}$ . Bajo esta equivalencia, los módulos cuasi-coherentes de tipo finito corresponden a aquellas tripletas $(M,N,\alpha)$ para lo cual $M,N$ están finitamente generados.
El functor de retroceso $j_1^* : \mathsf{Qcoh}(\mathbb{P}^1_R) \to \mathsf{Qcoh}(U_1) \cong \mathsf{Mod}(R[t])$ corresponde a $(M,N,\alpha) \mapsto M$ de forma similar $j_2^*$ corresponde a $(M,N,\alpha) \to N$ .
El functor imagen directa ${j_1}_* : \mathsf{Qcoh}(U_1) \to \mathsf{Qcoh}(\mathbb{P}^1_R)$ corresponde a $M \mapsto (M,M_t|_{R[t^{-1}]},\alpha)$ . Aquí restringimos los escalares de $R[t,t^{-1}]$ a $R[t^{-1}]$ y $\alpha$ es el isomorfismo obvio. A partir de aquí vemos que ${j_1}_*$ no conserva la propiedad de tipo finito: Si $M$ es una $R[t]$ -entonces $M_t$ es una $R[t,t^{-1}]$ -pero no tiene por qué ser un módulo finitamente generado. $R[t^{-1}]$ -módulo. Ya $M=R[t]$ proporciona un contraejemplo cuando $R \neq 0$ .
