¿Cuál es la notación correcta para una función multivariable?

Question

Muchos matemáticos textos definir una función multivariable $f$, de la siguiente manera

$$f := f(x,y)$$

Sin embargo, si nos centramos en el hecho de que una función realmente es una relación binaria en dos conjuntos, (dicen los números reales), la definición sería la siguiente

$$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$$

Esto parece implicar que el dominio de la función es un conjunto de pares ordenados de la forma $(x,y)$.

El conjunto $\mathrm{graph}(f) \subset \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$, entonces comprenden los pares ordenados de la forma $$\left\{((x_0,y_0),a), ( (x_1,y_1),b),\ldots\right\}$$

En línea con esto, ¿no se sigue que la corrección de la notación para $f$ debe ser

$$f := f( (x,y))$$

Pocos, si alguno, de los textos que me han llegado a través de el uso de esta notación, aunque parece que la forma correcta de considerar la función de asignación de un conjunto a otro.

Answer 1

Técnicamente hablando, estás en lo correcto. Si tengo una función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, y defino $p\in\mathbb{R}^2$ a ser el punto de $p=(1,2)$, entonces lógicamente, no debería haber ninguna diferencia entre la escritura $f(p)$ o $f((1,2))$; y de hecho, no hay ninguna lógicade la diferencia. Sin embargo, $f(1,2)$ es una forma abreviada conveniente, debido a que el par de paréntesis no brindan una mayor claridad.

También debo añadir que, en algunos lugares, en matemáticas, es común para denotar la aplicación de una función sin paréntesis; por ejemplo, si $T:V\to W$ es lineal en el mapa de un espacio vectorial $V$ a un espacio vectorial $W$, que a menudo se los ve $Tv$ escrito por la imagen de un elemento $v\in V$ bajo $T$.

Elegir cuando distinguen o no se distinguen, las cosas que tienen "canónica" identificaciones, tales como los pares ordenados $((a,b),c)$ y ordenó triples $(a,b,c)$, es un detalle importante en muchas de las matemáticas.

Answer 2

Sí, es formalmente correcta. En la mayoría de los contextos, sin embargo, el agregado de anotación carga no sirve a ningún propósito útil y simplemente hace las matemáticas más difíciles de leer, que es lo contrario a una de las funciones más importantes de una buena notación. En la mayoría de cálculo de configuración, por ejemplo, hace que, al menos, como mucho sentido pensar en los dos argumentos de $f:\Bbb R^2\to\Bbb R$ como entidades independientes $x$$y$, no como elementos de un único compuesto entidad $\langle x,y\rangle$. Hay veces, sin embargo, especialmente en el conjunto de la teoría de los contextos, en los que realmente es importante pensar en una entrada como un par ordenado o $n$-tupla, y, a continuación, ayuda a que esto se refleje en la notación.