Integrales de superficie - Representación paramétrica

Question

Encuentre la representación paramétrica para las partes del plano$$2x+3y+z=4$$ where $$1\leq x+y+z\leq 7$$ and $$2\leq x-y\leq4$ $.

Mi intento: pensé dejar que$u=x+y+z$ y$v=x-y$ tal que$1\leq u \leq 7$ y$2\leq v\leq4$. Pero no puedo encontrar una representación paramétrica adecuada.

Answer 1

Todos los puntos que se encuentran en las partes pertinentes del plano que satisfacen las ecuaciones siguientes, \begin{align*} 2x + 3y + z &= 4 \\ x+y+z &= u \\ x-y &= v \end{align*} donde$1 \leq u \leq 7$$2 \leq v \leq 4$. Si podemos encontrar expresiones para $x$, $y$ y $z$ en términos de$u$$v$, hemos encontrado un parametrisation. Hacerlo implica resolver el sistema de tres ecuaciones lineales por encima de $x$, $y$ y $z$. Para ello, podemos resolver la ecuación $$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 \\ u\\ v \end{bmatrix}$$

La solución termina siendo $$\begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-u+2v+4}{3} \\ \frac{-u-v+4}{3}\\ \frac{5u-v-8}{3} \end{bmatrix}$$ Por lo tanto, podemos decir que su parametrisation es definido por la función $\textbf{x}:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ $$\textbf{x}(u,v) = \begin{bmatrix} \frac{-u+2v+4}{3} \\ \frac{-u-v+4}{3}\\ \frac{5u-v-8}{3} \end{bmatrix}$$ Where $1 \leq u \leq 7$ and $2 \leq v \leq 4$.

Answer 2

Un típico lineal parametrización está dada por

\begin{cases} x(u,v) = x_0 + a_x u + b_x v \\ y(u,v) = y_0 + a_y u + b_yv \\ z(u,v) = z_0 + a_z u + b_z v \end{casos}

donde $\textbf{a} = (a_x,a_y,a_z)$ $\textbf{b} = (b_x,b_y,b_z)$ son arbitrarias vectores de dirección contenida en el plano. Estos vectores están obligados a ser normal al vector normal $\textbf{n} = (2,3,1)$

Usted puede pensar en los límites

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 7 \\ x-y = 2 \\ x - y = 4 \end{casos}

como dos pares de planos paralelos de intersección del plano original. Las intersecciones son líneas paralelas dentro del avión. Usted puede establecer la dirección de los vectores para alinearse con estos conjuntos de líneas paralelas, por lo $\textbf{a}$ paralelo a la primera pareja de aviones y $\textbf{b}$ es paralela a la del segundo par de planos. En resumen, $\textbf{a}$ es normal a $\textbf{n}_a = (1,1,1)$ $\textbf{b}$ es normal a $\textbf{n}_b = (1,-1,0)$. De esta manera podemos

$$ \textbf{a} = \textbf{n} \times \textbf{n}_a = (2,-1,-1) $$ $$ \textbf{b} = \textbf{n} \times \textbf{n}_b = (1,1,-5) $$

Finalmente, para $(x_0,y_0,z_0)$, escoge un triplete que satisface el avión, por ejemplo, $(0,0,4)$. Ahora tienes la parametrización como

\begin{cases} x = 2u + v \\ y = -u + v \\ z = 4 -u - 5v \end{casos}

Esta parametrización es muy conveniente porque si uno de los parámetros es constante, el resultado es una línea paralela a la otra pareja de aviones. La restricción de ellos se convierte en una tarea fácil

$$ 1 \le x + y + z \le 7 \implies 1 \le 4 - 3v \le 7 \implies -1 \le v \le 1 $$ $$ 2 \le x - y \le 4 \implies 2 \le 3u \le 4 \implies \frac23 \le u \le \frac43 $$