Recientemente me encontré con el siguiente número de rompecabezas teórico. Supongamos que tengo infinitas tarjetas, cada una con un número natural escrito en ella. Dado cualquier$n\in \mathbb N$, la cantidad de tarjetas que tienen un divisor de$n$ escrito es exactamente igual a$n$. Necesito mostrar que cada número natural aparece en al menos una tarjeta. Alguna idea de cómo proceder?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Está buscando una función$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que$\sum_{d\mid n} f(d) = n$ para todos$n$.
La clave es que esto determina$f(n)$ si ya conoce$f(1), f(2), \ldots ,f(n-1)$. Entonces, si puedes encontrar cualquier$g$ que haga el trabajo, entonces$f=g$ sigue la inducción. ¿Cómo encontrar tal función?
Consejo # 1: En un grupo cíclico con$n$ elementos, ¿cuántos elementos del pedido$d$ hay?
Pista # 2: ¿Cuántas$n$ - hay raíces de unidad? ¿Cuántos de ellos son% primitivos $d$- las raíces de la unidad?
