Me encuentro con dificultades a la hora de intentar sacar el comportamiento asintótico de la integral múltiple a medida que x tiende a más infinito. Y $-1<$p$<1$
$$\int_x^{+\infty}\int_x^{+\infty}e^{-{\frac{1}{2\sigma^2(1-p^2)}\ \ (u^2+2puv+v^2)}}dudv$$First, I can transform the variable to move x into integrant.$$\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}e^{-{\frac{1}{2\sigma^2(1-p^2)}\ \ (u^2+2puv+v^2+(2+2p)x^2+(2+2p)(u+v)x)}}dudv$$
A continuación,aplique transformar:
$$
\
\left\{
\begin{aligned}
&a=u+v\\
&b=v
\end{aligned}
\right.
$$
Llego $$\int_0^{+\infty}\int_0^{a}e^{-{\frac{1}{2\sigma^2(1-p^2)}\ \ (a^2+(2p-2)ab+(2-2p)b^2)+(2+2p)ax}+(2+2p)x^2}dbda$$
Para aplicar el método de Laplace, tengo que ver la primera parte de los integrantes como una función g(a), y mostrar que g no es demasiado malo. Pero parece que no puedo probarlo. O tal vez lo he hecho cosas peores.
Podemos probar con otro transformar:
$$
\
\left\{
\begin{aligned}
&a=u+pv\\
&b=v
\end{aligned}
\right.
$$
A continuación, obtener
$$\int_x^{+\infty}\int_{pb+x}^{+\infty}e^{-{\frac{1}{2\sigma^2(1-p^2)}\ \ (a^2+(1-p^2)b^2)}}dadb$$
El asymototic comportamiento de la función de error puede ser inapropiado aquí, ya que el pb+x puede que no tienden a infinito. Pero cuando $p\ge0$,$pb+x\ge x$, con lo que la integral puede ser controlada por $$\int_x^{+\infty}\int_{x}^{+\infty}e^{-{\frac{1}{2\sigma^2(1-p^2)}\ \ (a^2+(1-p^2)b^2)}}dadb$$, entonces podemos aplicar la asintótica de expansión de la función de error.
Al $p<0$, es un problema.
Sin embargo, el espíritu de Laplace método es calcular la integral cerca del punto extremo de los integrantes. Así que creo que el primer paso para lidiar con el problema es claro.
Cualquier sugerencia se agradece.
Respuesta
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Ok, si nadie lo recoge, lo voy a hacer.
Hacer una transformación de $$(u,v) \to (w,t),\ w=u/x,\ t=v/x$$ Entonces usted tiene una parte integral de la unidad hasta el infinito en cada coordenada. La máxima de que el integrando es en $(1,1)$.
Ahora hacer una expansión de Taylor de primer orden de la función en el exponente alrededor de $(1,1)$. El resto puede ser descuidado. Esto puede que se muestra la estimación del término de error (ver las referencias abajo para la prueba).
Integrar esta expansión de Taylor de primer orden y se obtiene la forma asintótica de la integral.
Este es un simple caso de un resultado por H. Rubén: Un asintótica de expansión de la distribución normal multivariante y el Molino de la relación, J. Res. Nat. Bur. Normas B ,68(1), 3-11, 1964.
Vea también: K. Breitung y M. Hohenbichler. Asintótica aproximaciones para multivariante de las integrales con una aplicación para multinormal probabilidades, J. de Análisis multivariante, 30, 80-97, 1989.
