$U,V$ son conjuntos abiertos disjuntos en $X$ y $P\subset \overline{U}\cap \overline{V}$ entonces $P\cap(U\cup V)=\varnothing$

Question

¿Esta afirmación es siempre cierta?

Dejemos que $U,V$ sean conjuntos abiertos disjuntos en $X$ y $P\subset \overline{U}\cap \overline{V}$ entonces $P\cap(U\cup V)=\varnothing$ .

Answer 1

Si $x\in P$ entonces en cada barrio abierto de $x$ hay elementos de $U$ y $V$ . Si $x\in U$ entonces tenía un barrio abierto que se reúne $V$ también, pero eso es imposible (¿puede ver por qué?), igualmente si $x\in V$ .

Por lo tanto, si $x\in P$ entonces $x\notin U\cup V$ y, por tanto, la intersección está efectivamente vacía.

Answer 2

Creo que puedes elegir $P$ máximo así que $P=\overline{U}\cap \overline{V}$ . La ampliación de lleva a $$ (\partial U \cap V)\cup (\partial V \cup U) \cup (\partial V \cap \partial U)\cap (U \cup V)=$$ Desde $U,V$ son abiertos y disjuntos los dos primeros términos no importan (tal vez sean incorrectos) por lo que obtenemos $$ (\partial V \cup \partial U) \cap (U \cup V) $$ . Esto es lo mismo que $$((\partial U \cup \partial V)\cap U )\cup ((\partial U \cup \partial V) \cap V)$$ y de nuevo tenemos $$ (\partial U \cap V) \cup (\partial V \cap U)$$ . Así que sí es su $\varnothing$

Answer 3

Si por $\bar{A}$ se refiere al cierre de $A$ entonces es obvio que esto no es cierto, siempre y cuando $P\neq\emptyset$ .

Si por el contrario te refieres al complemento de $A$ que se suele denotar por $A^c$ Siempre es cierto. Usted tiene $(P\cap(U\cup V))^c = P^c\cup(U^c\cap V^c) = X$ por suposición, y observando que $(A^c)^c=A$ , se obtiene su declaración.