Entendiendo las poleas en un conjunto de elementos$2$ -

Question

Estoy trabajando a través de la Geometría de los Planes y quería un poco de aclaración para un ejercicio.

Ejercicio I-5 considera una de dos element set $X=\{0,1\}$ con la topología discreta y le pide al lector a encontrar las relaciones entre los objetos de una gavilla (de abelian grupos) en $X$.

Si dejamos $\mathcal{F}$ ser la gavilla, entonces es claro que $\mathcal{F}(\emptyset)$ es la trivial grupo y que tenemos un diagrama conmutativo de las restricciones de $\mathcal{F}(\{0\})$ a $\mathcal{F}(\emptyset)$, de $\mathcal{F}(\{1\})$ a $\mathcal{F}(\emptyset)$, de $\mathcal{F}(\{0,1\})$ a $\mathcal{F}(\{0\})$, y de $\mathcal{F}(\{0,1\})$ a $\mathcal{F}(\emptyset)$.

Por la gavilla axioma, parece que por cualquier $s\in\mathcal{F}(\{0\})$ e $t\in\mathcal{F}({\{1\}})$, $s$ e $t$ restringido a la intersección, $\emptyset$, debe ser el mismo, por lo que hay algunas única sección en $\mathcal{F}(\{0,1\})$ que restringe a $s$ e $t$.

¿Qué dice esto acerca de la $\mathcal{F}(\{0,1\})$? Supongo que está relacionado con el producto de fibra, pero no estoy muy versado en la categoría de teoría. También, ¿cómo esta generalizar a las poleas sobre las diferentes categorías?

Answer 1

En este caso, $\mathcal{F}(\{0,1\})$ es sólo el producto directo de los grupos $\mathcal{F}(\{0\})$ e $\mathcal{F}(\{1\})$.

Este conmutativo el diagrama tiene que ser un pullback $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} \mathcal{F}(\{0,1\}) @>>> \mathcal{F}(\{1\})\\ @V V V @VV V\\ \mathcal{F}(\{0\}) @>>> \mathcal{F}(\emptyset)=\{0\} \end{CD}$$ pero como la esquina sureste es trivial, el grupo del noroeste es el producto directo de las otras esquinas, y el trivial los mapas son las proyecciones de un producto directo de sus factores.