¿Cómo puedo saber si la función inversa tiene una forma cerrada?

Question

Me interesa la función

$$ y(x) := \left( x +\frac{3\pi}{2} \right) \sin(x) + \cos(x). $$

Sobre la gama $ x \in \left[ -\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} \right]$ esta función crece monótonamente desde $-\pi$ a $2\pi$ como se ilustra en este Gráfico de WolframAlpha :

Por lo tanto, es evidente que su inversa existe y se comporta bien. Me pregunto, sin embargo, si su inversa puede escribirse en términos de funciones trascendentales conocidas, es decir, si existe alguna expresión "bonita $x(y)$ .

Answer 1

Permítanme primero definir una función reescalada $\tilde y(x) \equiv \frac{2}{3\pi} y(x) - \frac{1}{3}$ , sólo para que el dominio $[-\pi/2,\pi/2]$ mapas a la gama $[-1,1]$ . Para completar:

$$ \boxed{ \tilde y(x) = \left( \frac{2x}{3\pi} + 1 \right) \sin(x) + \frac{2}{3\pi} \cos(x) - \frac{1}{3} }. $$

Parece que la inversa está bien aproximada por la siguiente función:

$$ \boxed{ x_\textrm{guess}(\tilde y) = \frac{\pi}{2} + \left( \alpha + \beta \tilde y \right) \arccos(\tilde y) + \frac{\gamma}{\pi} \left(\arccos(\tilde y) \right)^2 }. $$

Más concretamente, si intento ajustar esta función, obtengo

$$ \begin{array}{ccc} \alpha_\textrm{fit} &= & -0.817 \pm 0.002 \\ \beta_\textrm{fit} &= & -0.032 \pm 0.002 \\ \gamma_\textrm{fit} &= & -0.215 \pm 0.004 \end{array}$$

El hecho de que esto se acerque a la verdadera inversa se demuestra en el siguiente gráfico:

La curva negra es $x(\tilde y)$ (este es un resultado numérico y puede tomarse como exacto para nuestros propósitos prácticos), y la curva roja discontinua es $x_\textrm{guess}(\tilde y)$ con los valores ajustados anteriormente de $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ .

Hay que tener en cuenta que la conjetura anterior no es la inversa verdadera/completa, ya que todavía hay una diferencia finita entre las dos curvas. El siguiente gráfico muestra $x(\tilde y) - x_\textrm{guess}(\tilde y)$ :

Lo anterior sugiere que no es descabellado pensar que pueda existir una forma cerrada para $x(\tilde y)$ en términos de funciones trascendentales conocidas. En caso de que alguien tenga una idea de qué término extra sería sensato añadir a mi Ansatz inverso $x_\textrm{guess}(\tilde y)$ hágamelo saber. Sería muy divertido si pudiéramos hacer que el segundo gráfico (es decir, el gráfico de error) fuera cero (dentro de la precisión de la máquina).

Answer 2

Bonita expresión, no sé.

Sin embargo, la función se representa bastante bien utilizando la expansión de Taylor construida en $x=0$ . Este escrito $$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{3 \pi \sin \left(\frac{\pi n}{2}\right)-2 (n-1) \cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)}{2\,n!}\, x^n$$

Por lo tanto, podemos utilizar la reversión de la serie para obtener $$x=\sum_{n=1}^p a_n t^n +O(t^{n+1})\qquad \text{where} \qquad t=\frac{2 (y-1)}{3 \pi }$$ donde los primeros coeficientes son $$a_1=1 \qquad a_2=-\frac{1}{3 \pi }\qquad a_3=\frac{1}{6}+\frac{2}{9 \pi ^2}\qquad a_4=-\frac{5}{27 \pi ^3}-\frac{7}{36 \pi }$$ $$a_5=\frac{3}{40}+\frac{14}{81 \pi ^4}+\frac{2}{9 \pi ^2}\qquad a_6=-\frac{14}{81 \pi ^5}-\frac{7}{27 \pi ^3}-\frac{53}{360 \pi }$$ $$a_7=\frac{5}{112}+\frac{44}{243 \pi ^6}+\frac{25}{81 \pi ^4}+\frac{371}{1620 \pi ^2}$$ $$a_8=-\frac{143}{729 \pi ^7}-\frac{121}{324 \pi ^5}-\frac{143}{432 \pi ^3}-\frac{823}{6720 \pi }$$ Los coeficientes más altos se vuelven cada vez más confusos y no se informará de ellos aquí.

Para comprobar lo buena o mala que es esta aproximación, dé $x$ a, calcular los valores correspondientes $y$ y volver a calcular $x$ utilizando la última fórmula. Esto daría la siguiente tabla $$\left( \begin{array}{ccc} x_{given} & y_{calc} & x_{calc} \\ -1.50 & -3.13360 & -1.24997 \\ -1.25 & -2.97043 & -1.16175 \\ -1.00 & -2.58357 & -0.97992 \\ -0.75 & -1.96923 & -0.74766 \\ -0.50 & -1.14194 & -0.49992 \\ -0.25 & -0.13510 & -0.25000 \\ +0.00 & +1.00000 & +0.00000 \\ +0.25 & +2.19663 & +0.25000 \\ +0.50 & +3.37653 & +0.49990 \\ +0.75 & +4.45506 & +0.74733 \\ +1.00 & +5.34711 & +0.97727 \\ +1.25 & +5.97354 & +1.15378 \\ +1.50 & +6.26756 & +1.23905 \end{array} \right)$$ que no está mal al menos en la gama $-1 \leq x \leq 1$ .

Seguramente, podríamos mejorar estos resultados construyendo las expansiones en serie centradas en $x=-\frac \pi 2$ , $x=0$ y $x=\frac \pi 2$ y proceder de la misma manera utilizando la serie invertida para $-\frac \pi 2 \leq x \leq -1$ , $-1 \leq x \leq 1$ y $1 \leq x \leq \frac \pi 2$ .