¿Por qué la constante de tiempo RC resulta ser igual a 1/e?

Question

Entiendo que la constante de tiempo en circuitos AC RC se define como el valor de la resistencia (en ohms) x el valor de la capacitancia (en farads). De hecho, ohms(R) x farads(C) da como resultado el tiempo (segundos).

$$\tau = RC $$

También entiendo que al discutir el cambio continuo (crecimiento/decaimiento) no es sorpresa que figure e. Lo que no entiendo es por qué \$C * R\$ resulta igual a la constante de tiempo, \$tau\$, el punto en el cual el voltaje en un capacitor es aproximadamente \$\approx63\%\$ de su estado final cargado C. En otras palabras, por qué es cierto que después de una constante de tiempo, \$\tau\$, el voltaje en el capacitor (en un circuito RC) es igual al 63.2% de su voltaje inicial. O, ¿por qué se cumple esto?

$$0.63 \approx (1 - \frac{1}{e^1})$$ y $$V_\tau = V_0(1 - \frac{1}{e^1})$$

Esto está relacionado con otra pregunta que pregunta por qué la constante de tiempo RC = 63.2% y no algún otro valor: ¿Por qué la constante de tiempo es 63.2% y no 50% o 70%?

Esta publicación incluyó respuestas perspicaces que describen que 63.2 está relacionado con e (específicamente \$\frac{1}{e}\$), y como e se relaciona con el cambio continuo, pero no por qué la capacitancia x resistencia produce este valor.

No es como si Georg Ohm o Michael Farady tuvieran e, o la constante de tiempo, en mente al desarrollar estas ideas (o unidades), ¿verdad? ¿Me estoy perdiendo algo obvio?

Answer 1

Veamos un circuito simple con una constante de tiempo RC:

simular este circuito – Esquemático creado usando CircuitLab

Ahora, si

$$v(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1\ {\rm V} & t \ge 0 \end{cases}$$

entonces puedes escribir una ecuación diferencial para el voltaje a través del capacitor para \$t > 0\$:

$$\frac{dv_c}{dt} = \frac{1-v_c}{RC}$$

donde \$R\$ aparece en el denominador porque el valor del resistor limita la corriente suministrada al capacitor, y \$C\$ aparece porque un capacitor de mayor valor necesita más carga para alcanzar un voltaje dado.

Lo resolvemos básicamente conociendo la respuesta (pero por supuesto puedes volver atrás y verificar si la solución satisface la ecuación diferencial), con

$$ v_c(t) = 1 - e^{-\frac{t}{RC}}$$

Entonces básicamente \$e\$ aparece porque es la base de la función exponencial que resuelve la ecuación diferencial \$\frac{df(t)}{dt}=f(t)\$, y el término \$RC\$ aparece debido a la forma en que la corriente se relaciona con el voltaje del capacitor en el circuito.

Answer 2

El hecho de que R*C = el tiempo que tarda el voltaje en decaer al 63% es una característica fundamental del universo. La forma en que se mide la resistencia y la capacitancia no cambia la realidad, por lo que cualquier forma válida de definir esas unidades dará el mismo porcentaje. Puede ayudarte recordar que un porcentaje es adimensional. Los valores numéricos de R y C pueden cambiar dependiendo de qué unidades estés usando, pero el porcentaje será el mismo una vez que lo hayas calculado todo.

Answer 3

La R y la C, junto con Vfinal, producen el Slewrate inicial; ese desplazamiento inicial interceptaría el voltaje final en TAU segundos, si el slewrate permaneciera constante.

Por supuesto, el slewrate está cambiando continuamente.

Answer 4

La definición de esta constante de tiempo tau=RC se puede verificar muy fácilmente usando el gráfico de la respuesta al escalón g(t)=1-exp(-t/tau).

Tomando la derivada de esta función en t=0 tenemos:

g´(t)=(-exp(t/tau)(-1/tau) que para t=0 es g`(t=0)=1/tau

• Esta es la primera interpretación gráfica: La constante de tiempo tau es el inverso de la pendiente de g(t) en t=0.

Si construimos la tangente para g(t) en t=0 tenemos la función de una línea recta con pendiente 1/tau. Por lo tanto, la función es y=(1/tau)*t y para tau=t tenemos y=1.

• Esta es la segunda interpretación gráfica: La constante de tiempo tau es idéntica al punto de cruce entre la tangente en t=0 y el valor final de g(t) (en nuestro caso: "1").

Insertando esta constante de tiempo en la respuesta al escalón g(t) llegamos al valor mencionado del 63% (como se muestra en la pregunta original)

Answer 5

Después de reflexionar sobre esto, me doy cuenta de que mi pensamiento inicial estaba equivocado. Básicamente estaba preguntando por qué 1 = 1. Si otros caen en una falacia similar y se sienten perplejos por la increíble coincidencia de que R * C resulta ser aquella propiedad de la naturaleza llamada constante de tiempo \$t\$, consideren esto:

Por definición, una constante de tiempo es, como porcentaje del valor inicial, el punto en el que la cosa medida iguala a \$1/e*ValorInicial\$ si disminuye, o \$(1 - 1/e)*ValorInicial\$ si aumenta. Esto no es específico o único de los circuitos RC de ninguna manera. Si usamos esta convención para describir el sistema en cuestión aquí, el circuito RC, simplemente calculamos un valor tal que R * C sea igual a \$t\$. Es decir, dado que R * C = tiempo, simplemente podemos multiplicar R*C y considerar ese producto como \$tau\$.

Mi error fue, básicamente, confundir causa y efecto. El valor de 1/e es lo que define (en cierto sentido 'causa') los valores específicos que se deben usar como constante de tiempo en un sistema dado, no una coincidencia mágica resultante de alguna propiedad misteriosa de \$\Omega \$ y \$F\$. Literalmente, preguntar por qué e/RC = 1 cuando RC es, por definición, la constante de tiempo (el punto en el que esto es cierto), es preguntar por qué 1 = 1 .

Tal vez si lo hubiera visto escrito como \$t\equiv R*C\$, me habría evitado caer en esta madriguera particular

(Gracias por las excelentes aclaraciones anteriores The Photon, LvW, et.al. Intenté dar un voto arriba, pero me falta la reputación suficiente.)