Contar combinaciones de 4 dígitos tales que el primer dígito sea positivo y par, el segundo sea primo, el tercero sea Fibonacci y el cuarto sea triangular

Question

Esto parecía un problema básico, pero por alguna razón no puedo resolverlo:

En un $4$ -El primer dígito tiene que ser un número par positivo, el segundo un número primo, el tercero un número de Fibonacci y el cuarto un número triangular. La pregunta es cuántos conjuntos únicos de $4$ combinaciones puedo seleccionar si los dígitos PUEDEN ser repetidos.

Opciones de respuesta:

• (A) $625$
• (B) $375$
• (C) $300$
• (D) $256$
• (E) $240$

Este fue mi intento:

Todos los números tienen que ser menores que $10$ ya que necesito un dígito. Los conjuntos de los que puede proceder cada dígito son

• Número par = $\{2,4,6,8\}$
• Número primo = $\{2,3,5,7\}$
• Número de Fibonacci (¡bastante confuso!) = $\{0,1,1,2,3,5,8\}$ o sólo uno $1$ ?
• Número triangular = $\{1,3,6\} $

Entonces tal vez el número total de tales números viene dado por $4 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3 = 336.$ ¡Pero eso no es una opción de respuesta! O, con un número de Fibonacci menos, $4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 3 = 288$ que sigue sin ser una opción.

Así que estoy totalmente confundido y agradecería cualquier ayuda.

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P.D. La pregunta es de MATH UIL (Regionales 2014) para quien se lo pregunte. Ve a la página 49 en este PDF

(La pregunta es: 13. Willie Lawkette usa...)

Answer 1

Voy a hacer dos comentarios sobre las posibles ambigüedades de tu pregunta: el origen probable de tus preguntas y que dan problemas a cualquiera para resolver esto. Demuestra que el problema está muy mal planteado si estás dando un examen de opción múltiple.

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Número de Fibonacci (¡bastante confuso!) = $\{0,1,1,2,3,5,8\}$ o sólo uno $1$ ?

Para ello, hay que tener en cuenta que sólo tener una $1$ es relevante. Piensa en cómo sería el número de cuatro dígitos si eligieras un $1$ de un par de $1$ Claro, son "números" diferentes en cierto sentido, pero el número de cuatro dígitos sería el mismo independientemente de cuál se obtenga.

En ese sentido, es más fructífero pensar en distintivo o único combinaciones de cuatro dígitos.

Además, un número es un número de Fibonacci si aparece en la secuencia de Fibonacci, es decir $1$ no es de alguna manera "el doble" de un número de Fibonacci (sea lo que sea que eso signifique) que los otros. Básicamente, la pregunta que te haces es "¿está este número en la secuencia de Fibonacci?". Si es así, inclúyelo en el conjunto. Si no, no lo hagas.

Ahora, una cuestión: ¿es $0$ ¿un número de Fibonacci?

Pues bien, consideremos cómo definimos el $n$ -El número de Fibonacci:

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Pero para que esto sea útil, necesitamos definir unos "primeros" valores, unos valores semilla. Podemos definir $F_0 = 0, F_1 = 1$ . O a veces definimos $F_1 = F_0 = 1$ . Ambas secuencias son, en última instancia, las mismas, sólo hay un cambio de términos. Obsérvese que una de las definiciones prohíbe explícitamente $0$ de estar en la secuencia a menos que trabajemos hacia atrás (que no es la secuencia "estándar" de Fibonacci en una especie de sentido).

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Número triangular = $\{1,3,6\}$

Aquí radica la segunda ambigüedad que quiero comentar.

Una definición para el $n$ -ésimo número triangular $T_n$ puede venir dada por

$$T_n = \sum_{k=0}^n k = 0 + 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Tome $n=0$ . La suma es cero, dando $0$ como el número triangular "zeroth".

Esta definición es esencialmente la misma que aparece en Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number ) excepto que empezamos a sumar en $0$ y no $1$ . Sin embargo, esto está perfectamente bien.

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¿Qué hemos observado en este debate? Tres cosas principales:

• En primer lugar, no vas a incluir $1$ dos veces en el conjunto para ese dígito.
• Es $0$ ¿un número de Fibonacci? Puedes definirlo como la semilla, o no, sin afectar significativamente a la secuencia.
• Es $0$ ¿un número triangular? Puedes definir $T_n$ de una manera que permite que sea uno sin problemas.

Creo que podemos afirmar que hay cuatro opciones para cada una de las dos primeras cifras de su número de cuatro dígitos sin problemas. Pero podríamos tener $5$ o $6$ para el tercero, y $3$ o $4$ para el cuarto.

Así que bajo esa luz, podríamos tener

$$4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 = 240$$ $$4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4 = 320$$ $$4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 3 = 288$$ $$4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 4 = 384$$

Ahora, por suerte, sólo la primera corresponde a una respuesta (E), es decir, $0$ no es un número triangular ni un número de Fibonacci.

Pero que estas definiciones permitan tan fácilmente $0$ y algunos lugares lo citan como tal. Por ejemplo, según Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number ), $0$ es un número de Fibonacci en los libros más recientes, pero suele omitirse en los textos más antiguos. La secuencia OEIS para los números triangulares ( https://oeis.org/A000217 ) comienza en el "zeroth", $0$ .

Así que creo que con estas ambigüedades la pregunta no estaba bien formulada, pero eso es quizás una cuestión de opinión.

Supongo que se podría argumentar que para ser triangular o Fibonacci, un número debe ser natural. (Pero entonces eso toca el debate de si $0$ es un número natural, ¿no? Así que ser positivo probablemente sería menos ambiguo. :p).

Así que supongo que terminaré este post dándoles esas cosas para que reflexionen.