Transformaciones de Poincare y "tres tipos de variaciones infinitesimales".

Question

Actualmente estoy leyendo estos$^1$ lec. notas como una introducción a la relativista QFT. En el capítulo dos (pp 57-61) se introduce el concepto de variaciones del campo junto con algunas fórmulas para los diferentes tipos de variaciones (creo que al menos eso es lo que él está haciendo...). Estoy teniendo un momento muy difícil con las matemáticas que escribe ahí abajo.

Se analiza el ejemplo de una de Poincaré-transformación que envía a$x$ a $x'$. Él dice que entonces podemos escribir $$x'^\mu \approx x^\mu + \delta x^\mu = x^\mu+\delta \omega^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}x^\lambda+\delta \omega^\mu,\tag{2.12}$$ donde $\delta\omega^{\mu\nu}=-\delta\omega^{\nu\mu}, |\delta\omega^{\mu\nu}|\ll 1$, $|\delta\omega^\mu|\ll 1$ e $g_{\mu\nu}$ el tensor métrico. Puedo entender la primera approxmiation, ¿por qué $\delta\omega^{\mu\nu}$ tiene que ser antisimétrica y mucho menor que uno, pero no veo por qué $\delta x^\mu = \delta \omega^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}x^\lambda+\delta \omega^\mu$ debe tener sentido como una aproximación. Él va a decir que $$\begin{align*}\Delta u(x) &\equiv u'(x+\delta x)-u(x) \equiv \delta u(x+\delta x) + du(x)\\&=\delta u(x)+\delta x^{\mu} \partial_{\mu} \delta u(x)+\cdots+\mathrm{d} u(x) \\&= \delta u( x) +\delta x^\mu\partial_\mu u(x) + \mathcal{O}(\delta u \delta x),\end{align*}\tag{2.13}$$ donde $u:\mathcal{M}\to\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ es una función en el espacio de Minkowski y $u'$ la función después de la de Poincaré-transformación. Sinceramente, no entiendo nada de parte de los cálculos anteriores (sobre todo porque él no mencionar siquiera lo $\delta$ e $d$ se supone) y puede incluso menos imaginar lo $\delta u(x)$ se supone debe ser.

Puede alguien tal vez me explique exactamente lo que está pasando aquí y de por qué los supuestos como $[\delta,\partial_\mu]=0$ sentido? Si usted sabe de una mejor introducción al tema siéntase libre de sugerir algunos libros, papel, etc.

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Matemáticas de fondo: yo no soy especialmente familiarizado con el cálculo de variaciones. Yo había tenido alguna exposición en un clásico machanics curso, donde se define la variación de un funcional ($\delta S[f]=\frac{d}{d \epsilon}\left.S[f+\epsilon \delta f]\right|_{\epsilon=0}$), pero aparte de que yo realmente no se nada sobre el tema.

$^1$ Introducción a la teoría cuántica de campos relativista, R. Soldati, 2019.

Answer 1

1. Los "tres tipos de variaciones infinitesimales" se definen como sigue. $$\begin{align} \Delta u(x) &~:=~ u^{\prime}(x^{\prime})-u(x) \qquad\text{ total infinitesimal variation}, \tag{2.2}\cr \delta u(x) &~:=~ u^{\prime}(x)-u(x) \qquad \text{ local/vertical infinitesimal variation},\tag{2.3}\cr \mathrm{d}u(x)&~:=~ u(x^{\prime})- u(x) \qquad\text{ differential/horizontal infinitesimal variation}.\tag{2.4} \end{align}$$ Aquí las palabras horizontales y verticales de los espacios de referencia para el espacio-tiempo y $u$-destino, respectivamente, del espacio. Mientras que la terminología/nombres y la notación varían de autor a autor, estos tres variaciones infinitesimales son a menudo introducidos en los campos de la física de la teoría de los libros de texto.

2. La declaración de $[\delta,\partial_\mu]=0$ significa que vertical variaciones infinitesimales $\delta$ conmuta con el espacio-tiempo,-derivados de $\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. Ser conscientes de que el total de variaciones infinitesimales $\Delta$ do no necesariamente conmuta con el espacio-tiempo,-derivados de $\partial_{\mu}$.

Answer 2

$\delta x^\mu$ tiene una parte superior del índice, por lo que acaba de escribir todos los posibles términos que dan algún objeto con una parte superior del índice. También se $\delta x^\mu$ debe depender sólo de $x^\mu$ y constantes, porque ¿qué otra cosa debería depender? Así que usted puede venir para arriba con la idea de clasificar las contribuciones a $\delta x^\mu$ con respecto a la orden en $x$.

De orden cero en $x$ es sólo una constante. Recuerde que debe llevar a una parte superior del índice, por lo que es un vector constante. $\delta x^\mu$ es infinitesimal, por lo que cada contribución debe ser infinitesimal. Así que al final termina con un infinitesimal constante vector $$(\delta x^\mu)^{(0)}=\delta \omega^\mu$$ to zeroth order in $x$.

De primer orden en $x$ es algo de la forma "constante x veces". Desde $x$ es un vector, la mayoría de forma general sería contratante con una constante de tensor. El tensor debe ser infinitesimal (desde $x$ sí no es infinitesimal). Para volver un objeto con una parte superior del índice, el índice de la estructura debe ser la siguiente

$$(\delta x^\mu)^{(1)}=\delta\omega^\mu_\lambda x^\lambda$$

Podemos levantar uno de los índices de uso de la métrica tensor: $\delta\omega^\mu_\lambda=\delta\omega^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}$ y va a terminar con

$$(\delta x^\mu)^{(1)}=\delta\omega^{\mu\nu}g_{\nu\lambda} x^\lambda$$

En total, hasta primer orden en $x$ conseguimos exactamente (2.12).