¿Funciona el teorema de Cayley-Hamilton en sentido contrario?

Question

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica.

Pero, ¿funciona en sentido contrario?

Si, por ejemplo, para una determinada matriz $A$ sabemos que

$ A^2-6A+9I=0, $

¿significa eso que la ecuación característica de $A$ es

$ \lambda^2-6\lambda+9=0 $ ?

Answer 1

Incluso sin contraejemplos es obvio que tu afirmación no puede ser cierta porque si $A$ es una raíz del polinomio $p(x)$ entonces debe ser la raíz de $p(x)q(x)$ para cualquier polinomio $q$ . Así obtendríamos la matriz $A$ tiene infinitos polinomios característicos.

Answer 2

No. Por ejemplo, $I-1=0$ pero el polinomio característico de $I$ es $(x-1)^n$ .

Answer 3

Para cualquier $n \times n$ matriz $A$ El $(2n) \times (2n)$ matriz $\pmatrix{A & 0\cr 0 & A\cr}$ satisface el polinomio característico de $A$ pero su propio polinomio característico es el cuadrado del de $A$ .

Answer 4

No. En general si una matriz es raíz de un polinomio, ese polinomio es múltiplo del polinomio mínimo de esa matriz.

Incluso si sólo considera polinomios de grado n para una matriz n×n, esto todavía puede fallar.

Por ejemplo, si A=0, el polinomio característico es $x^n$ pero A es la raíz de cualquier polinomio $xg(x)$ .

Sin embargo, no todo está perdido. Si su polinomio mínimo es igual a su polinomio característico (como con matrices compañeras o en el caso de que no tenga raíces repetidas), entonces el polinomio característico (= polinomio mínimo) será el único polinomio mónico de grado n con raíz A.

Answer 5

No, el $n\times n$ matriz $A=3I$ satisface la ecuación dada pero tiene un polinomio característico diferente para $n\not=2$ .