$\epsilon$ El engorde de un conjunto abierto no tiene por qué ser abierto

Question

Esta era una pregunta de un examen.

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y $\epsilon \geq 0$ . Definir el $\epsilon$ -engrosamiento de un conjunto $S$ como $$S_\epsilon:=\{ x \in X; \exists s \in S: d(s,x) \leq \epsilon \}$$

Como dice el título, pero no encuentro un contraejemplo. Me parece que si $S$ no contiene su límite, entonces el conjunto "engordado" tampoco debería contenerlo según la definición. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $X = [0,1] \cup [2,3]$ con la métrica habitual de $\mathbb R$ . Entonces $S = [0,1]$ está abierto en $X$ pero su $1$ -el engorde es $[0,1] \cup \{2\}$ que no está abierto en $X$ .