Área de superficie de una esfera cortada por dos planos ortogonales.

Question

Yo soy un programador haciendo una gráfica efecto, y he llegado a un problema de matemáticas que mi viejo tonto cerebro no acaba de averiguar la mejor manera de resolver.

Aquí está el problema: toma una esfera y corte un poco de ella con un plano. Usted consigue una esfera tapa y rodajas de esfera. Ahora, tomar otro avión que es exactamente ortogonal a la segmentación de avión y cortar el otro ámbito de la pac. ¿Cuál es el área de la superficie de los gajos de la esfera de la izquierda?

Si los dos esfera tapas no se intersectan, entonces el problema es sencillo: basta con restar el área de la superficie de las dos de la esfera tapas de la superficie de la esfera, y listo. Sin embargo, si los dos planos están lo suficientemente cerca del centro que de los dos la esfera de las tapas se intersecan, entonces hay una astilla de la esfera a la que se presenta cortada dos veces, y usted tiene que agregar de nuevo. ¿Cómo hacer eso?

En caso de que alguien está curioso acerca de la cosa real que estoy tratando de hacer: quiero hacer la oclusión ambiental en una textura que voy a usar en un voxel de malla. La idea de la AO es que se tome un punto de una superficie, y un hemisferio centrado alrededor de la normal de la superficie, y comprobar que la superficie está obstruido por los objetos. En un voxel mundo, que, básicamente, se reduce al problema anterior, ya que la única cosa que podría ocluir es voxels vecinos. He buscado en google este y las cosas que he encontrado son algunos de variación de este método que utiliza vértice para colorear (esencialmente) y se ve bastante mal. Quiero hacerlo correctamente.

Answer 1

Actualización: Una fórmula exacta para el área de la unidad de esfera con $x>a$, $y>b$ es $$A=\big(\frac 12-a-b\big)\pi + 2b\arctan(\frac ac)+2a\arctan(\frac bc)+\arctan(\frac{c^2-a^2 b^2}{2abc})$$ para los positivos $a$ e $b$ con $a^2+b^2<1$ e $c=\sqrt{1-a^2-b^2}$.

Encontrar esta fórmula fue difícil, que requiere tanto algunos de Mathematica y algunas conjeturas para mí. Afortunadamente, podemos comprobar que sólo mediante la comprobación de sus valores en los extremos y sus cambios en el medio.

En el límite de $a\rightarrow 0^+$, el último término va a $\pi/2$, por lo $A=(1-b)\pi$ y está de acuerdo con Arquímedes del hatbox teorema. Del mismo modo, esto es correcto en el límite de $b\rightarrow 0^+$.

En el medio, $$\frac{d^2A}{da\ db}=\frac{2}{\sqrt{1-a^2-b^2}}=2\sqrt{1+f_x^2+f_y^2},$$ que es correctamente dos veces el elemento de área de la superficie de $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$, correspondiente a los hemisferios superior e inferior.

Como un ejemplo, si $a=2/5$ e $b=3/4$, a continuación, $c=\sqrt{111}/20$y $$A = \frac{-3\pi}{20} + \frac 45\arctan(\frac{15}{\sqrt{111}}) + \frac{3}{2}\arctan(\frac{8}{\sqrt{111}})-\arctan(\frac{4\sqrt{111}}{25}) \simeq .234333$$

Answer 2

Acaba de presentar de otra manera con respecto a la buena respuesta de arriba.

Vamos a referirnos a la adjunto 2-D proyección ortogonal

Tomamos una esfera de radio unitario, donde los dos cortes son individualizado por los planos $x=a$ e $y=b$, o, equivalentemente, por la latitudinal ángulos $\alpha, \, \beta$.

La superficie de la necesaria "parcial de la cuña esférica" será descrito por el arco infinitesimal $d \phi$, de girar alrededor de la circunferencia de radio $r$, en constante latitud $\phi$, por el logitudinal arc $2 r \theta$.

Tenemos las siguientes relaciones entre los parámetros. $$\left\{ \matriz{ a = \cos \alpha \hfill \cr b = \sin \beta \hfill \cr r = \cos \phi \hfill \cr r\cos \theta = \hfill \cr} \right.$$

Así que, claramente, vamos a tener $$S(\alpha ,\beta ) = 2\int_{\,\phi \, = \,\beta }^{\;\alpha } {r\,\theta \,d\phi } = 2\int_{\,\phi \, = \,\beta }^{\;\alpha } {\cos \phi \arccos \left( {\cos \alpha /\cos \phi } \right)d\phi }$$ donde, si queremos preservar el signo positivo de la integral vamos a imponer la la desigualdad de $\beta \le \alpha$.

No sé (y dudas) si la integral puede ser puesto en una cerrada el formulario. Es más probable que usted deberá calcular numéricamente.

Answer 3

Área de la pieza de la $P$ en $\mathbb{S}^2$ :

i) Retirada de Gauss-Bonnet Teorema : $$\int_{\Omega}\ K +\int_{\partial \Omega}\ k_g = 2\pi \chi(\Omega)$$ donde $k_g$ es una geodésica de la curvatura.

ii) la curvatura Geodésica en el límite de la pac : $C_z$ es un cap wrt $z=\delta$ , de modo que $$( {\rm área}\ C_z)_{=2\pi \delta} +\int_{\partial C_z}\ k_g =2\pi$$

Comentario - Cono : Y hay un cono $T_z$ que es tangente a $\mathbb{S}^2$ a lo largo de $\partial C_z$. Tenga en cuenta que un ángulo central de $T_z$ es $2\pi(1-\delta )$.

iii) Definir dos planos ortogonales $z=\delta\ y=-1+\varepsilon$ in $\mathbb{E}^3$. Assume that two planes cut $P$ de $\mathbb{S}^2$

Para $\partial C_z$, tenemos una parametrización de la $$c_z(t)= \sqrt{2\delta\delta^2 }(\cos\ t,\sin\ t,0) +(0,0,1-\delta)$$

Del mismo modo, para $\partial C_y$ tenemos $$c_y(s)=\sqrt{2\varepsilon -\varepsilon^2 }(\cos\ s,0,\sin\ s) +(0,-1+\varepsilon ,0)$$

Encontrar la intersección entre la $c_z$ e $c_y$ : $$\sin\ t_i= \frac{-1+\varepsilon }{\sqrt{2\delta\delta^2 }},\ \pi<t_1<3\pi/2 <t_2<2\pi$$

$$\sin\ s_i = \frac{1-\delta}{\sqrt{2\varepsilon -\varepsilon^2}},\ 0<s_2<\pi/2<s_1<\pi$$

A lo largo de suave arco en $\partial P$, la integral de la curvatura geodésica es $$|t_1-t_2|(1-\delta) + |s_1-s_2|(1-\varepsilon ) \ (:=T)$$

iv) Considerar el ángulo entre dos tangentes en la intersección de la punto :

$$c_z'(t_2)=\sqrt{2\delta\delta^2 }(-\sin\ t_2,\cos\ t_2,0) = ( \varepsilon -1 ,\sqrt{ 2\delta\delta^2 -(1-\varepsilon)^2 } ,0)$$

$$c_y'(s_2)=\sqrt{2\varepsilon -\varepsilon^2 }(-\sin\ s_2,0,\cos\ s_2) = (\delta-1,0,\sqrt{2\varepsilon- \varepsilon^2 -(1-\delta)^2})$$

Por lo tanto el ángulo de $\theta$ entre dos vectores es $$\cos\ \theta=\frac{(1-\varepsilon )(1-\delta )}{\sqrt{2\varepsilon - \varepsilon^2}\sqrt{2 \delta\delta^2}}$$

Por lo tanto Gauss-Bonnet teorema implica que $${\rm área}\ P= 2\pi- 2\theta-T$$