Pregunta de examen de matemáticas sobre trillizos de Pitágoras consecutivos

Question

Nuestra hija de 13 años trajo a casa esta pregunta de matemáticas que se le pidió en un "matemáticas desafío" de la semana pasada:

P. Los valores de la adyacente y opuesto a los lados en un triángulo de ángulo recto de longitudes de 3, 4, 5 son consecutivos. Obtener otro triángulo con consecutivos, adyacentes y opuestos lados de tener valores de entre 500 y 1000.

Mi esposa y yo pasamos dos horas tratando de averiguar antes de que nos dio por vencido. El maestro proporciona la solución (696, 697, 985) pero no pudo explicar cómo obtenerlo. Buscando en internet podemos ver las soluciones a este pero ninguno de ellos que podemos esperar incluso una persona muy inteligente, de 13 años de edad que saber. Nos estamos perdiendo algo que es obvio?

Gracias,

Adrian

Answer 1

La pregunta, por supuesto, es la siguiente.

Deje $a>0$ ser un número natural. Cuando se $$ a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1=b^2 $$ por algún otro número natural $b$?

La cuestión no parece adecuado para los niños de la escuela, posiblemente con la excepción de los muy brillantes, dado el hecho (que no he comprobado) que el próximo solución es $a=696$.

No hay una manera estándar para obtener ternas Pitagóricas el uso de geometría analítica. De hecho ternas Pitagóricas $(a,b,c)$ son, esencialmente, en una correspondencia uno a uno con los puntos en el círculo de $C:x^2+y^2=1$ con ambas coordenadas racionales. La asociación es $$ (a,b,c)\longleftrightarrow\left(\frac ca,\frac ac\right)\en C. $$ Por lo tanto, podemos parametrizar ternas Pitagóricas de forma sistemática, acaba de tomar el genérico de la línea de $y=t(x-1)$ través $(1,0)\in C$ y el segundo punto de intersección $P_t$ tienen coordenadas en $\Bbb Q$ exactamente cuándo $t\in\Bbb Q$. De hecho, las coordenadas del segundo punto de intersección se obtienen fácilmente: $$ P_t=\left(\frac{t^2-1}{t^2+1},\frac{2}{t^2+1}\right) $$ (parámetro de $t$ normaliza por lo que las coordenadas positivas cuando $t>0$). Sin embargo, no parece ser una tarea trivial para responder a la pregunta con esta parametrización.

Vale la pena señalar que el problema sería mucho más fácil si le pedimos que la diferencia de longitud entre la hipotenusa y uno de los lados se $1$, como en el caso de $(5,12,13)$.

De hecho, uno podría tener que echa cuando $$ c^2-b^2=(c+b)(c-b)=c+b=2b+1\qquad\qquad\qquad(*) $$ es un cuadrado y que se essentialy una tarea trivial. Por ejemplo, uno se mete en unos pocos segundos de una búsqueda sistemática en los triples $(7,24,25)$, $(9,40,41)$ y así sucesivamente.

De hecho, como una de 13 años de edad pueden encontrar pronto, sólo cada número impar, no sólo de las plazas, es una suma de dos números consecutivos.

Answer 2

$x^2+(x+1)^2=y^2 \implies (x+1)^2 = (y+x)(y-x)$

Tenga en cuenta que $a=y+x$ e $b=y-x$ da $x={a-b\over 2}$ y la ecuación se convierte en $(a-b+2)^2=4ab$

$2x^2 > 500^2$, $2(x+1)^2 < 1000^2\implies x \geq 354$ e $x \leq 706$ lo $1706\geq a\geq 854$ e $646 \geq b\geq 0$

Deje $gcd(a,b)=k$ entonces $(a_1k-b_1k+2)^2=4a_1b_1k^2$ significado $k^2 \mid (a_1k-b_1k+2)^2$ significado $k \mid a_1k-b_1k+2$ significado $k \mid 2$.

($1$) $k=1$ entonces $(a-b+2)^2=4ab$ donde $a,b$ son coprime y son ambos números al cuadrado. $42^2>1706\geq a\geq 854>29^2$ e $26^2>646 \geq b\geq 0$ significa que hay sólo $12$ valores de $a$ a comprobar. Además $a$ no puede ser porque si es así, a continuación, $b$ es extraño para ser coprime con $a$ y el lado izquierdo se vuelve extraño. Así que sólo necesita comprobar $6$ valores de $a$.

Expanda la ecuación de $b^2-2(3a+2)b+(a+2)^2=0$, $\Delta = 32a(a+1)$ es un número cuadrado o, simplemente, ${a+1\over 2}$ es un número cuadrado.

Conecte los valores de $a=31^2,33^2,...,41^2$ y compruebe ${a+1\over 2}$ podemos obtener sólo un par ($a=41^2, b=17^2$), esto se corresponden con el cartel de la $x=696$

($2$) $k=2$ entonces $(a_1-b_1+1)^2=16a_1b_1$, lo $a_1, b_1$ son ambos números al cuadrado. $20^2<427\leq a_1\leq853<30^2, $$b_1 \leq 323<18^2$

Expanda la ecuación de ${b_1}^2-2(9a_1+1)b_1+(a_1+1)^2=0$, $\Delta = 64a_1(5a_1+1)$ es un número cuadrado o, simplemente, $5a+1$ es un número cuadrado.

Esta vez tenemos a$9$ valores de $a_1$ a de verificación de $21$ a $29$. Sin embargo, ninguno de los valores producir un integrante $b_1$. Como resultado $x=696$, dado por el cartel, es la única solución.