¿Puede$\{1, x^2, x^3, x^4, ...\}$ aproximar$x$ en$[0,1]$?

Question

Puede $\{1, x^2, x^3, x^4, ...\}$ aproximado de $x$ a $[0,1]$?

Aquí es un intento:

Deje $\mathcal{A}$ ser lineal útil de nuestros set $\{x^0, x^2, x^3, x^4, ...\}$. $\mathcal{A}$ es un subespacio vectorial y separa puntos. También es una subalgebra desde $\sum_{i \neq 1}^{n} a_i x^i \times \sum_{i \neq 1}^{m} b_i x^i$ no genera ningún tipo de $x^1$ plazo. $[0,1]$ es compacto, y $x^0 = 1 \in \mathcal{A}$. Por la Piedra-teorema de Weierstrass, $\mathcal{A} = C([0,1])$. A la conclusión de que nuestra serie inicial puede aproximar $x$.

Esta es mi primera vez usando la Piedra-teorema de Weierstrass y creo que he cometido un error, ya que el mismo argumento es válido para todos los conjuntos de la forma $\{1, x^k, x^{k+1}, x^{k+2}, ...\}$ o decir polinomios, incluso con poderes. También parece contradecir el hecho de que la $\{1, x, x^2, ... \}$ formulario de una base en la $L^2([0,1])$.

Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Sí, el argumento es bueno.

Sólo por diversión, una explícita la secuencia de polinomios que se aproxima a $\sqrt{x}$ a $[0,1]$: $$\begin{align*}f_n(x) &= \frac2{\pi}-\frac1{\pi}\sum_{k=1}^n \frac1{k^2-\frac14}T_k(1-2x)\\ &= \frac{-2}{(2n+1)\pi}\sum_{j=0}^n (-4x)^j\cdot\binom{n+j}{2j}\cdot\frac1{2j-1}\end{align*}$$ Estos $f_n$ son polinomios de grado $n$, e $\max_{x\in [0,1]}\left|f_n(x)-\sqrt{x}\right| = f(0) = \frac2{(2n+1)\pi}$. Por cierto, el $T_k$ en la primera expresión para $p$ son los polinomios de Chebyshev.

Cuando llegué por primera vez con estos, yo escribí una aproximación de $f_{32}$ (el primero en llegar dentro de $0.01$), con cada coeficiente a cinco dígitos significativos. El más grande de los coeficientes de poco menos de $10^{20}$.
Por supuesto, $f_n(x^2)$ , sería entonces un polinomio de grado $2n$ sin término lineal aproximar $x$ a en $\frac{2}{(2n+1)\pi}$ en el intervalo.

Este salió de una discusión de los diversos métodos para encontrar una aproximación a $\sqrt{x}$, y cómo minimizar el grado de los polinomios resultantes de una determinada precisión. Otros enfoques mencionados incluyen el polinomio de Taylor centrado en $1$ (grado $\frac{1}{\pi\cdot\epsilon^2}$), la iteración $P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{x-P_n(x)^2}{2}$ (grado $2^{c/\epsilon}$ por una constante $c$), y los polinomios de Bernstein $g_n(x)=\sum_{k=0}^n\sqrt{\frac kn}\binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ (grado aproximadamente $\frac1{13.26\cdot \epsilon^2}$).

Cualquiera de estos métodos suficiente si todo lo que usted necesita es la existencia de una aproximación decente, por supuesto, y todos se podría convertir en el problema aquí por la sustitución de $x\to x^2$.