Demasiada cola larga

Question

Existe el llamado larga cola en topología, que es un espacio topológico con un conjunto base $[0,1]\times \mathbb{R}$ con topología de orden dada por el orden lexicográfico: $(x_{1}, y_{1}) < (x_{2}, y_{2})$ si y sólo si $x_{1} < x_{2}$ o $x_{1} = x_{2}$ y $y_{1} < y_{2}$ . Aquí son algunas propiedades de la línea larga. (En realidad, la definición de línea larga en el enlace es más general que la definición anterior completamente diferente y utilizaremos la definición anterior).

Ahora dejemos que $L_{1}$ sea la línea larga anterior. Definir larga cola $L_{2}$ como un espacio topológico con un conjunto base $[0, 1]\times L_{1}$ con topología de orden está dada por el orden lexicográfico como antes. Podemos incrustar $L_{1}$ en $L_{2}$ como $L_{1} \simeq \{1/2\}\times L_{1}\hookrightarrow L_{2}$ . Mi pregunta es la siguiente:

(1) ¿Son $L_{1}$ y $L_{2}$ ¿son homeomórficos?

(2) Si no, también podemos definir un $long^{3}$ línea $L_{3}$ de manera similar, e incluso $L_{n}$ para cualquier $n\geq 1$ . Qué es un límite directo $$ L_{\omega} = \lim_{\to}L_{n}? $$ ¿Hay alguna propiedad interesante de $L_{\omega}$ ?

(3) Si seguimos adelante, también podemos definir $$L_{\omega + 1}, L_{\omega +2}, \dots, L_{2\omega}, \dots, L_{\omega^{2}}, \dots, L_{\omega^{\omega}}, \dots, L_{\epsilon_{0}}, \dots$$ para cualquier ordinal dado $\alpha$ . ¿Son todos diferentes?

Creo que la pregunta más importante es la (1). Gracias de antemano.

---

Como la definición de mi línea larga es diferente de la original, aquí está la nueva versión de las preguntas para la definición original.

En primer lugar, tenemos el clásico (¿original?) rayo largo $R_{1}$ que es un conjunto $\omega_{1} \times [0, 1)$ con una topología de orden a través del orden lexicográfico. Ahora podemos definir una línea larga $L_{1}$ pegando dos rayos largos $R_{1}$ con respecto a sus puntos finales. Para definir $L_{2}$ definimos $R_{2}$ por $\omega_{1} \times R_{1}$ con una topología de orden (de nuevo orden lexicográfico) y pegar dos copias. Continuando este proceso, podemos definir $L_{\alpha}$ para cualquier ordinal dado $\alpha$ (Espero).

Answer 1

Permítanme redefinir $L_2$ como producto de $\omega_1$ y la línea larga con orden lexicográfico, que parece más interesante. Tenga en cuenta que $L_2$ es isomorfo a $\omega_1^2\times[0,1)$ .

Podemos demostrar que ambos espacios son conjuntos ordenados lineales completos densos bajo el orden natural. La completitud no parece trivial, por lo que debería esbozar una prueba de la completitud de $I=\mu\times[0,1)$ para un ordinal límite $\mu$ .

Dividir $I$ en conjuntos $I_{\alpha}=\{ \langle \alpha, r\rangle :r\in [0,1)\}$ . Considere un subconjunto $A$ de $I$ que está acotado por encima, por lo que $A$ está contenida en algún $[(0,0), (\nu,0)]$ para algunos $\nu<\mu$ .

Considere $B=\{\alpha\le\nu: I_\alpha\cap A\neq\varnothing\}$ y tomar $\beta=\sup B$ . Si $\beta\in B$ , entonces encontrar un supremum de $A$ se reduce a encontrar un supremum de un conjunto de $[0,1)$ . Si no, el punto $(\beta,0)$ será un supremacía de $B$ . (Añadido en el 10 de febrero de 2019: tenemos que dividir los casos una vez más: porque $\beta\in B$ no garantiza $I_\beta$ tiene un supremacía. Si $r:=\sup I_\beta\in [0,1)$ , $\langle\beta, r\rangle $ es un supremacía de $A$ . Si $r=1$ , $\langle\beta+1,0\rangle $ sería).

Por tanto, todo subconjunto conexo de $I$ es un intervalo (ver §24 de Topología de Munkres.) Podemos ver que todo intervalo compacto en $L_1$ es separable. Sin embargo, $L_2$ no lo es.

Answer 2

Se trata de $S\times \mathbb{R}$ con la topología dada por la base $\{a \times I : a \in S, I$ : abrir en $\mathbb{R}\}$ . Afirmo que tal $S_{1} \times \mathbb{R}$ y otro $S_{2} \times \mathbb{R}$ si y sólo si $|S_{1}| = |S_{2}|$ .

En efecto, consideremos una byección (teórica de conjuntos) $h : S_{1} \rightarrow S_{2}$ y reunir todos los homeomorfismos entre $a \times \mathbb{R}$ y $h(a) \times \mathbb{R}$ para $a \in S_{1}$ para construir el homeomorfismo completo.

Definitivamente, puede perturbar el "orden" de los componentes, pero no importa cuando uno se centra en las propiedades topológicas. Si uno se centra en la equivalencia por mapas que preservan el orden se convierte en una historia totalmente diferente.

Answer 3

Edición: Esta respuesta no se aplica a la pregunta del OP, que utiliza una definición no estándar de línea larga. Había pasado por alto la definición asumiendo que serían equivalentes. Mea culpa.

Creo que la respuesta a 1) es no. El ordinal más grande que se puede incrustar en la línea larga es $\omega_1$ según la respuesta de Asaf Karagila en ¿Qué ordinales incontables viven en la línea larga? , pero se pueden incrustar fácilmente ordinales más grandes en su línea larga. Extendiendo esta línea de pensamiento, tenemos una respuesta positiva a 3).