Universal Cubrir el Espacio de Cuña de Productos

Question

Hoy en día yo estaba estudiando para un examen de calificación, y se me ocurrió la siguiente pregunta;

Hay una simple descripción en términos de los subespacios universal cubre para la universalización de la cobertura de una cuña de productos?

Esta pregunta surgió después de calcular universal, cubiertas de la cuña de las esferas ( $\mathbb{S}^1 \vee\mathbb{S}^1$ $\mathbb{S}^1 \vee\mathbb{S}^n$ ) y la cuña del espacio proyectivo con las esferas. En estos casos, la universalización de la cobertura se ve como el producto cruzado de las hojas de el universal, portadas de cada espacio en la cuña.

Para el caso de acuñamiento dos esferas, podemos utilizar el hecho de que $\pi_{n\geq2}\left(U\right)$ es isomorfo a $\pi_{n\geq2}\left(X\right)$ $U$ cubriendo $X$.

Busqué en google un poco alrededor para intentar encontrar algo, pero nada apareció.

Gracias de antemano!

Answer 1

Si $X$ $Y$ son dos razonable espacios con universal cubre $\tilde{X}$$\tilde{Y}$, no es una buena foto de la universalización de la cobertura $\widetilde{X \vee Y}$ a que la combinatoria patrón de un árbol infinito. El árbol es bipartito con vértices marcados por los símbolos $X$$Y$. Los bordes de una $X$ vértices son bijective con el grupo fundamental de la $\pi_1(X)$, e igualmente para $Y$ vértices y $\pi_1(Y)$. Para hacer $\widetilde{X \vee Y}$, reemplazar cada una de las $X$ vértice $\tilde{X}$ y cada una de las $Y$ vértice $\tilde{Y}$. El punto base de la $X$ ascensores $|\pi_1(X)|$$\tilde{X}$, e igualmente para $Y$. En $\widetilde{X \vee Y}$, copias de $\tilde{X}$ son adjunto a las copias de $\tilde{Y}$ en los ascensores de los puntos de base. Por ejemplo, si $X = Y = \mathbb{R}P^2$, entonces el árbol es una cadena infinita y $\widetilde{X \vee Y}$ es una cadena infinita de 2-esferas.

Esta imagen del árbol de bien y dramáticamente se generaliza a Bass-Serre teoría.