Es $0$ ¿un número natural?

Question

¿Existe un consenso en la comunidad matemática, o alguna autoridad aceptada, para determinar si el cero debe ser clasificado como un número natural?

Parece que antiguamente $0$ se consideraba en el conjunto de los números naturales, pero ahora parece más común ver definiciones que dicen que los números naturales son precisamente los enteros positivos.

Answer 1

Respuesta sencilla: a veces sí, a veces no, suele indicarse (o estar implícito en la notación). De la Artículo de Wikipedia :

En matemáticas, existen dos convenciones para el conjunto de números naturales naturales: es el conjunto de los enteros positivos $\{1, 2, 3, \dots\}$ según la definición tradicional definición tradicional; o el conjunto de enteros no negativos $\{0, 1, 2,\dots\}$ según una definición que aparece por primera vez en el siglo XIX.

Dicho esto, la mayoría de las veces he visto que los números naturales sólo representan los "números de contar" (es decir, excluyendo el cero). Esta era la definición histórica tradicional, y para mí tiene más sentido. El cero es en muchos sentidos el "impar uno fuera" - de hecho, históricamente no fue descubierto (¿descrito?) hasta algún tiempo después de los números naturales.

Answer 2

No hay una "regla oficial", depende de lo que se quiera hacer con los números naturales. Originalmente se partía de $1$ porque $0$ no se le dio la categoría de número.

Hoy en día si ves $\mathbb{N}^+$ puede estar seguro de que estamos hablando de números de $1$ arriba; $\mathbb{N}$ suele ser para números de $0$ arriba.

[EDIT: las definiciones originales de los axiomas de Peano, que se encuentran en Arithmetices principia: nova methodo se puede encontrar en https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog : míralo. ]

Answer 3

Creo que las definiciones modernas incluyen el cero como número natural. Pero a veces, especialmente en los cursos de análisis, podría ser más conveniente excluirlo.

Ventajas de considerar $0$ no sea un número natural:

• en general $0$ no es natural en absoluto. Es especial en muchos aspectos;

• la gente naturalmente empieza a contar desde $1$ ;

• la secuencia armónica $1/n$ se define para cualquier número natural n;

• el $1$ El número es $1$ ;

• al establecer los límites, $0$ desempeña un papel simétrico al de $\infty$ y este último no es un número natural.

Ventajas de considerar $0$ un número natural:

• el punto de partida de la teoría de conjuntos es el conjunto vacío, que puede utilizarse para representar $0$ en la construcción de los números naturales; el número $n$ puede identificarse como el conjunto de los primeros $n$ números naturales;

• los ordenadores empiezan a contar por $0$ (véase el explicación de Dijkstra )

• los descansos en la división de enteros por un $n$ son $n$ diferentes números a partir de $0$ a $n-1$ ;

• es más fácil excluir un elemento definido si necesitamos naturales sin cero; en cambio es complicado definir un nuevo elemento si no lo tenemos ya;

• Los números enteros, reales y complejos incluyen el cero, que parece mucho más importante que $1$ en esos conjuntos (esos conjuntos son simétricos con respecto a $0$ );

• existe una noción para definir conjuntos sin $0$ (por ejemplo $\mathbb R_0$ o $\mathbb R_*$ ), o números positivos ( $\mathbb R_+$ ) pero no una noción clara para definir un conjunto más $0$ ;

• el grado de un polinomio puede ser cero, al igual que el orden de una derivada;

He visto a niños medir cosas con una regla alineando el $1$ en lugar de la marca $0$ marca. Es difícil explicarles por qué hay que empezar desde $0$ cuando se utilizan para empezar a contar desde $1$ . Las marcas de la regla identifican el fin de los centímetros, no el inicio, ya que el primer centímetro va de 0 a 1.

Un ejemplo en el que se cuenta desde $1$ conduce a algo equivocada nombres está en los nombres de intervalos entre notas musicales: el intervalo entre Do y Fa se llama cuarta, porque hay cuatro notas: Do, Re, Mi, Fa. Sin embargo, la distancia entre Do y Fa es en realidad de tres tonos. Esto tiene la fea consecuencia de que una quinta por encima de una cuarta (4+3) es una octava (7) y no una novena. Por otro lado, si pones el primer dedo en la nota Do de un piano, el cuarto dedo va a la nota Fa.

Yo diría que en el lenguaje natural la correspondencia entre cardenal números y ordinal números se desvía en uno, distinguiendo así dos conjuntos de números naturales, uno a partir de 0 y otro a partir de 1. El 1 de enero fue el día número $0$ del nuevo año. Y zeroth no tiene ningún significado en el lenguaje natural...

Answer 4

Están las dos definiciones, como tú dices. Sin embargo, el conjunto de números estrictamente positivos que son los números naturales es en realidad la definición más antigua. La inclusión de $0$ en los números naturales es una definición para ellos que se dio por primera vez en el siglo XIX.

Los axiomas de Peano para los números naturales toman $0$ para ser uno, por lo que si se trabaja con estos axiomas (y gran parte de la teoría de los números naturales lo hace) entonces se toma $0$ sea un número natural.

Answer 5

Recuerdo que en todos mis cursos en la Universidad sólo se utilizaban números enteros positivos (sin incluir $0$ ) para los Números Naturales. Es posible que se hayan puesto de acuerdo entre la Facultad de Matemáticas, pero durante al menos dos cursos generamos el conjunto de los números naturales de formas que no tendrían sentido si $0$ se incluyó.

Uno de ellos tenía que ver con la cardinalidad de los conjuntos de conjuntos, el otro definía los números naturales en términos del número $1$ y sólo la adición ( $0$ y los números enteros negativos entran en escena más tarde, cuando se define un inverso de la suma).

En consecuencia, cuando enseño la diferencia entre números enteros y números naturales, siempre defino $0$ como un número entero que no es un Número Natural.