Conjetura: en una elipse con el eje mayor AB, la proyección I de uno de los focos en cualquier tangente es tal que AIB es el ángulo recto

Question

Creo que he encontrado alguna propiedad de una elipse. Defina los siguientes:

• El punto de $P$ pertenece a la elipse.
• La línea tangente $\ell$ pasa a través de $P$.
• El punto de $F$ es uno de los focos.
• La línea de $m$, a través de $F$, es perpendicular a la línea de $\ell$ a punto de $I$.
• $A$ e $B$ son los vértices de la elipse (es decir, los extremos del eje mayor).

En este caso,

El $\angle AIB$ siempre $\pi/2$. (Creo.....)

Pero no me han demostrado...

1. Es esto cierto?
2. Podría alguien darme algún consejo?

Gracias de antemano.

Edit1 Para jmerry

Edit2 Para jmerry

Realmente gracias, me hace divertido!

Answer 1

Sí, es cierto.

Algunos consejos: el lugar geométrico de todos los puntos de $I$ tal que $\angle AIB$ es un ángulo recto es el círculo con diámetro de $AB$. Así, entonces, si usted puede demostrar que $OI=OA=OB$ donde $O$ es el centro de la elipse, lo tendrás.

A continuación, agregue algunas cosas más a su diagrama. El otro foco (vamos a llamar a $G$) se ve como un buen lugar para empezar - después de todo, que nos permite utilizar agradable hechos como los segmentos de $P$ a los dos se centra formando el mismo ángulo que la tangente de la línea de $\ell$, y que $PF+PG=AB$.

Así que ahora, ¿cómo puede usted utilizar los hechos? No tenga miedo de extender las líneas y encontrar nuevas intersecciones.

[Agregado en editar]
Bien, he hecho algunas cosas más, y algunos ángulos iguales. Ya que estamos buscando en $I$ , en particular, acerca de cómo nombrar ese punto donde se $GP$ e $FI$ se cruzan? Ya has etiquetado como un ángulo de allí, así que nombrar el punto hará que sea más fácil trabajar con.

(Yo lo llamé $J$ en mi diagrama)

Ah, y ya que estamos interesados en la longitud de $OI$, que es otro segmento, nos debe dibujar.

Answer 2

Sugerencia: la única forma de que el ángulo $AIB$ sea siempre $\frac{\pi}{2}$ es si el punto $I$ se encuentra a lo largo de un círculo con el radio $|B|$ (consulte el Teorema de Thales). En otras palabras, la distancia desde I hasta el origen debe ser constante.

Answer 3

No una estricta prueba, una observación interesante, aunque.

Hay un método para dibujar una elipse mediante el plegado de papel. Vea este vídeo: el Plegamiento de un Círculo en una Elipse. En caso de que el link muere, si la quieres más información, búsqueda de folding paper ellipse o así.

El método es como sigue:

1. Dibujar un círculo en un pedazo de papel, $G$ es el centro.
2. Elija un punto de $F$ dentro del círculo.
3. Repetir muchas veces ($n=0,1,2,3,…$) los siguientes:
   1. elija un punto de $J_n$ sobre el círculo;
   2. dobla el papel por lo $J_n$ cumple con $F$;
   3. se desarrollan, denotan la línea de pliegues $l_n$.
4. Una elipse aparecerá con $F$ e $G$ como focos; cada una de las $l_n$ serán algunos de la tangente de la línea.

En la pregunta que usted está trabajando en reversa! Usted tiene la elipse, ha $F$ e $G$. Elegir alguno de los $l$ y encontrar correspondiente $J$. Todos los posibles $J$-como puntos deben formar un círculo que me denotar $\mathcal{J}$; esperamos que $G$ a ser su centro.

Cómo acerca de $I$ todo $I$- , como puntos (el conjunto me denotar $\mathcal{I}$)? El hecho de que $\overrightarrow{FI} = \frac 1 2 \overrightarrow{FJ}$ llegamos a la conclusión de $\mathcal{I}$ debe ser homogéneo dilatación de $\mathcal{J}$ con el centro $F$ , y la proporción $\frac 1 2$. Así todas las posibles $I$- , como puntos también forman un círculo. La aplicación de la dilatación en el centro del círculo $\mathcal{J}$ (es decir, hasta el punto de $G$) se obtiene el centro de la circunferencia $\mathcal{I}$. En tu caso es el origen $O$.

Ahora considere la tangente líneas en $A$ y a las $B$. Es fácil ver a estos dos puntos deben pertenecer a $\mathcal{I}$. Sabiendo $O$ es el centro de la $\mathcal{I}$, llegamos a la conclusión de $AB$ es el diámetro.

Su $I$ está en el círculo $\mathcal{I}$, el diámetro es de $AB$. Por lo tanto, $\angle AIB = \frac \pi 2$.