¿Hay una "función mayor" que converge?

Question

Acaba de llegar a la convergencia de las pruebas en el cálculo, y se enteró de que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ converge para todos los $p \gt 1$. Yo pensé que esto era una especie de "barrera" entre lo que converge y lo que diverge. Específicamente, que el establecimiento $a_n=\frac{1}{n^{1+\epsilon}}$ es de la mayor "función" (voy a hacer esta precisa más adelante) para que $\sum a_n$ converge.

Pero, me di cuenta de que hay funciones que dominan $\frac{1}{n^{1+\epsilon}}$ pero no $\frac1n$, como $\frac{1}{n\log(n)}$. Ahora, la suma de ejemplo se aleja, pero me pregunto acerca de si $\frac{1}{n}$ es realmente el "límite". Así que, esto me lleva a dos preguntas.

1) hay una función de $f$ que domina $\frac{1}{n^p}$ para todos los $p>1$, lo que significa: $$\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{\frac{1}{x^p}}=\infty$$ De tal forma que: $$\sum_{n=1}^\infty f(n)$$ converge?

2) Si es así, hasta una constante es que hay una función de $g$ tal que $\sum_{n=1}^\infty g(n)$ converge, de tal manera que $g$ domina $f$ para todas las demás funciones de $f$ tal que $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ converge?

Yo sólo soy un estudiante de primer año en la escuela secundaria, así que pido disculpas si esta es una pregunta estúpida.

Answer 1

1) Sí, $f(n)=\frac{1}{n(\ln{n})^2}$.

2) No. Suponga $f \geq 0$ e $\sum_{n \geq 1}{f(n)} < \infty$.

Entonces existe un aumento de la secuencia de $N_n$ y algunas constantes $C > 0$ tal que $\sum_{N_n+1}^{N_{n+1}}{f(k)} \leq C2^{-n}$.

A continuación, establezca $g(n)=(p+1)f(n)$, donde $N_p < n \leq N_{p+1}$.

A continuación, $\sum_{N_n+1}^{N_{n+1}}{g(k)} \leq C(n+1)2^{-n}$, lo $\sum_{n \geq 1}{g(n)}$ es finito y $g(n) >> f(n)$.

Answer 2

1) $$f(n) = \frac{1}{n \log(n)^2}$ $

2) No. Dado cualquier $g > 0$ tal que $\sum_n g(n)$ converge, hay una secuencia creciente $M_k$ tal que $$\sum_{n \ge M_k} g(n) < 2^{-k}$ $
Luego $ \sum_n g(n) h(n)$ converge, donde $h(n) = k$ para $M_k \le n < M_{k+1}$ .