Integración sobre una superficie.

Question

Deje que$S$ sea dado por

PS

y$$S= \left[(x,y,z) \in \Bbb{R}\;|\; x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz=\frac12 \right]$ $

Explique cómo dar una orientación para$$\omega = xdy \wedge dz\, -\, \frac {2z}{y^3} \, dx\wedge dy \,+\, \frac1{y^2}dz\wedge dx $ y calcular$S$ con respecto a esa orientación.

Sé que involucra el teorema de Stokes y que$\int_S \omega$ pero estoy un poco perdido acerca de la orientación y, en realidad, la computo.

Answer 1

Si, de hecho,$\mathrm{d}\omega = dx \wedge dy \wedge dz$, por Stokes Teorema, se calcular el volumen de la región encerrada por $S$. Esta región pasa a ser un elipsoide, inclinado con respecto a los ejes. Usted puede averiguar cómo obtener las dimensiones y la orientación de los ejes de aquí. Resulta que este elipsoide ha semiaxes de longitud $1$, $1$, y $1/2$, por lo que el volumen del elipsoide es $2\pi/3$, y el valor de la integral es $(2\pi/3) dx \wedge dy \wedge dz$.

Dicho esto, yo no estoy tan seguro de que $\mathrm{d}\omega = dx \wedge dy \wedge dz$ como estado, porque las 2-formas que están en un orden cíclico y no va a cambiar el signo de la diferenciación. En ese caso, los términos con $y$ no va a cancelar. El resultado integral, sin embargo, sería un lío y si esta es la tarea, me sorprendería si esa era la intención.