Encuentra todos los conjuntos finitos$A$ para que$A\times\mathcal P(A) =\mathcal P(A)\times A$, donde$\mathcal P(A)$ sea el conjunto de potencias de$A$.

Question

Encontrar todos los conjuntos finitos $A$ , de modo que $A\times\mathcal P(A) =\mathcal P(A)\times A$, donde $\mathcal P(A)$ es el juego de poder de $A$.

Ahora soy un principiante en la Matemática Discreta, así que no estoy seguro de cómo hacer frente a este problema. Yo estaba esperando que un conjunto con los elementos proporcionados para probar esto. Lo mejor de mi corazonada es que todos los conjuntos de trabajo ya que es la misma en ambos lados del signo igual. Si usted podría ayudarme a encontrar la forma de trabajar a través de la pregunta, en lugar de sólo una respuesta que sería genial!

Answer 1

Sugerencia 1: $\mathcal P (A)$ siempre tiene más elementos de los que $A$. En particular, $A \neq \mathcal P(A)$.

Sugerencia 2: Si $A \times B =B \times A$ a continuación, puede probar que cualquiera de las $A=B$ o uno de $A,B$ está vacía.

En efecto, si se asume por la contradicción que ha $A \neq B$ , y que ni $A$ ni $B$ está vacía, entonces usted puede encontrar un elemento $x$ que es exactamente uno de los conjuntos de $A$ o $B$. Ahora, por el uso que ni $A$ ni $B$ está vacía, usted puede recoger algunos $y$ en el otro conjunto. Mira $(x,y)$.

Sugerencia 3 a la Conclusión de que $A=\emptyset$ es la única solución.

Answer 2

Suponiendo que "x" es el producto Cartesiano de dos conjuntos, tenemos la definición de

Para dos conjuntos de $A$ e $B$, el producto cartesiano está dada por $$A\times B=\{ (a,b):a\in A, b\in B\}$$

Supongamos que $A\times P(A)$ para algunos de $A$. A continuación, cada elemento de a$P(A)$ debe ser en $A$. Sin embargo, por Cantor del teorema, tenemos que $|A|<|P(A)|$ cualquier $A$, por lo que existe al menos un elemento de a$P(A)$ que no está en $A$.
Por lo tanto no puede ser cierto que $A\times P(A)=P(A)\times A$ para cualquier conjunto $A$.