Relación entre la función zeta y la función L de Dirichlet

Question

Deje que $$H(s)=\frac{\zeta(s)}{\phi(q)} \sum_{\chi \mod{q}} L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{h(n)}{n^s}$$ ¿Cuál es el n más pequeño (como una función de q) tal que $h(n)\neq 1$?

Answer 1

Las relaciones de ortogonalidad para los caracteres de Dirichlet implican que $$ \frac1{\phi(q)} \sum_{\chi\pmod q} L(s,\chi) = \sum_{n\equiv1\pmod q} n^{-s}.$$ Por lo tanto $$ H(s) = \zeta(s) \sum_{n\equiv1\pmod q} n^{-s} = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} \sum_{\substack{d\mid n \\ d\equiv1\pmod q}} 1,$$ a partir de lo cual puede responder a su pregunta en particular.