¿Qué se entiende por el núcleo de una 2 forma?

Question

Me dan una forma 1 $\alpha$ en $\mathbb{R}^n$ y se le pide que calcule el núcleo de $d\alpha$ .

Desde $d\alpha$ es una 2 forma en $\mathbb{R}^n$ , se comería un campo vectorial para dar una 1 forma, o se comería 2 campos vectoriales para dar una función.

¿Sería el núcleo de esta 2 forma el conjunto de todos los campos vectoriales $X$ tal que $d\alpha(X,-)$ es idénticamente cero, o el conjunto de pares de campos vectoriales $(X,Y)$ tal que $d\alpha(X,Y)=0$ ? ¿O algo más?

Answer 1

Tu primera idea es la correcta. Puedes construir $\ker(d\alpha)$ de la siguiente manera. En el espacio tangente $T_p \Bbb R^n$ , elija un vector $X_p \in T_p \Bbb R^n$ . Entonces obtenemos un mapa lineal $$d\alpha_p(X_p, -) : T_p \Bbb R^n \longrightarrow T_p^\ast \Bbb R^n$$ introduciendo $X_p$ como primer argumento de $d\alpha_p$ . Entonces decimos que $X_p$ está en el núcleo de $d\alpha_p$ si $d\alpha_p(X_p, -)$ es el mapa cero. Estos núcleos fibrosos forman colectivamente el núcleo $\ker(d\alpha) \subset T \Bbb R^n$ de $d\alpha$ .