¿Por qué es válida la fórmula de Euler para todos los$n$ pero no la fórmula de De Moivre?

Question

La página de Wikipedia De Moivre la Fórmula dice que la fórmula no es para los no-entero $n$, ya que no son potencias enteras de un número complejo puede tener varios valores.

Luego pasa a decir que esto no se aplica a Euler de la fórmula, ya que:

No hay tal problema se produce con la fórmula de Euler ya que no hay identificación de los diferentes valores de su exponente. La fórmula de Euler consiste en un complejo de potencia de un número real positivo y esto siempre tiene un valor definido

Yo no entiendo realmente lo que Wikipedia significa. La fórmula son muy similares, por lo que yo habría esperado que ellos tienen propiedades idénticas. Podría alguien tal vez ampliar en Wikipedia explicación? Gracias.

Answer 1

El problema es un poco sutil. El punto que estamos tratando de hacer es que la fórmula de $(\cos x + i \sin x)^z = \cos(zx) + i \sin (zx)$ en realidad no tiene sentido si $z$ es permitido ser un número complejo. Todo lo demás tiene sentido, incluyendo la $e^{ixz} = \cos xz + i \sin xz$. Usted simplemente no puede decir que es igual a $(e^{ix})^z$ debido a la ley de potencia $ (a^b)^c = a^{bc}$ no es válido cuando se $a$ $b$ no son los números reales positivos.

He aquí, por ejemplo, ¿qué podría salir mal:

$$ -1 = i^2 = i^{4\frac{1}{2}} \overset{!}= (i^4)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1}=1.$$

Lo que pasó? Es el paso central donde he utilizado el poder de la ley con el número imaginario $i$ como base. No es cierto que la $(i^4)^{1/2} = i^2$.

Por la misma razón, $(\cos x + i \sin x)^z = (e^{ix})^z$ no es en general igual a $e^{izx}$, debido a $e^{ix}$ es (en general) no es un número real positivo.