Demuestre que el conjunto$\{(x,y) \in\mathbb R^2\mid y<x^2\}$ es un conjunto abierto dando un radio explícito

Question

Básicamente estoy tratando de demostrar que si$S$ =$\{(x,y) \in\mathbb R^2\mid y<x^2\}$. Entonces, para cualquier$(x,y) \in S$ existe un radio$\delta$ tal que$B_\delta(x,y) \subseteq S$.

¿Qué valores de$\delta$ recomendarías?

Answer 1

Para$\delta$, puede usar algo que sea más pequeño que la distancia mínima entre el punto$p=(x,y)$ y el límite establecido$\mathcal{B}$ (en su caso es$\{(x,y) | y = x^2$}). Para encontrar esta distancia, debe encontrar la línea$l$ tal que$l$ ortogonal a la línea tangente a$\mathcal{B}$ y$p \in l$. Después de eso, obtienes$p$ y$p' = l \cap \mathcal{B}$. Luego obtienes la distancia entre estos puntos y usas como delta algo más pequeño. La distancia puede ser una norma euclidiana simple porque todas las normas son equivalentes en$\mathbb{R}^n$.

Answer 2

Cualquier disco funcionará siempre que permanezca dentro de$S$. Obviamente, es posible encontrar dicho disco, ya que el punto debe estar a una distancia no nula del límite.