Descripción del mapa de cobertura universal para el plano complejo dos veces perforado

Question

Como es bien sabido, el espacio de cobertura universal del plano complejo perforado es el propio plano complejo, y la cobertura viene dada por el mapa exponencial.

En cierto sentido, esto demuestra que el logaritmo tiene la peor monodromía posible, dado que sólo tiene una singularidad en el plano complejo. Por lo tanto, podemos visualizar fácilmente el mapa de cobertura dado por la superficie de Riemann correspondiente a Registro (dado por la continuación analítica, digamos).

Viendo lo fundamentales que son la exponencial y el logaritmo, me preguntaba cómo es que no conozco nada sobre el caso en el que se eliminan dos puntos del plano complejo.

Mi pregunta principal es la siguiente: cómo puedo encontrar una función cuya monodromía corresponda a la cubierta universal del plano complejo dos veces perforado (digamos ℂ∖{0,1}), de la misma manera que la monodromía de Registro corresponde a la cubierta universal del plano perforado.

Por ejemplo, se podría intentar f (*z*) = Registro (*z*) + Registro (*z*-1) pero se ve fácilmente que la superficie de Riemann correspondiente tiene un grupo abeliano de transformaciones de cubierta, cuando debería ser F ₂ .

La mayor ayuda hasta ahora ha sido buscar sobre el problema de Riemann-Hilbert; es posible escribir una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden 2 que tenga el grupo de monodromía requerido.
El único problema es que esto no muestra cómo hacerlo explícitamente: Empecé con una representación fiel del grupo fundamental (del plano complejo dos veces perforado) en GL(2,ℂ) (de hecho las matrices correspondientes en SL(2,ℤ) son fáciles de producir), pero los cálculos se me fueron rápidamente de las manos.

Mi esperanza número uno sería algo relacionado con la función hipergeométrica ₂ F ₁ ya que esto resuelve en general ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con 3 puntos singulares regulares (para ₂ F ₁ los puntos singulares son 0, 1 y ∞, pero podemos mover esto con transformaciones de Möbius), pero realmente esperaba algo mucho más explícito, especialmente viendo que muchos parámetros parecen no producir la monodromía correcta. Sobre todo sabiendo que aunque la ecuación diferencial tenga la monodromía correcta, las soluciones podrían no tenerla.

Me gustaría conocer cualquier información que tenga alguien relacionada con las descripciones analíticas de esta cubierta universal, me sorprendió bastante ver lo poco que hay escrito sobre ella.
Puntos extra para cualquier cosa que también funcione para más puntos eliminados, pero viendo lo complicado que parece ser esto para sólo dos puntos eliminados, no tengo muchas esperanzas (sabiendo que a partir de 3 puntos singulares (+∞), aparecen muchos fenómenos complicados).

Answer 1

La función que quieres es, como mencionó David, una función modular. Aparece en casi cualquier demostración del Pequeño Teorema de Picard (creo que el texto de Ahlfors sobre análisis complejo tiene alguna discusión) y se puede construir usando un sinsentido abstracto encontrando un mapeo conforme del dominio

1 > Re(z) > 0, |z-1/2| > 1/2

en el semiplano superior y, a continuación, rebotarlo utilizando la reflexión de Schwarz. Más concretamente, el grupo de Gamma(2) de matrices enteras de 2x2 que se reducen a cero mod 2 actúa libremente (excepto menos la matriz identidad) sobre el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias, y esto da una acción explícita del grupo libre sobre dos generadores mediante transformaciones de cubierta.

Esto nos lleva a las funciones y formas modulares que, por decirlo suavemente, están bien estudiadas.

La mayoría de los textos de introducción a las formas modulares suelen tener una discusión y una prueba exhaustiva de esta cobertura - por ejemplo, "Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions" de Goro Shimura.

EDIT: whoops, si voy a decir "reflexión de Schwarz" quiero la mitad del dominio fundamental.

Answer 2

Otros ya han dado una descripción cualitativa satisfactoria como función modular bajo un grupo de congruencia adecuado. Dado que el cociente en cuestión es necesariamente de género cero, existen fórmulas explícitas para tales funciones.

Me he equivocado en mi comentario a la respuesta de Tyler. La función que proporcioné allí es invariante bajo un grupo más grande que el que queremos, y da la cobertura universal para el plano complejo con uno y medio pinchazos.

El producto eta de Dedekind eta(z/2)^8/eta(2z)^8 no sólo es invariante bajo Gamma(2) (= F ₂ ), pero mapea H/Gamma(2) biyectamente al plano dos veces perforado. Tendrás que postcomponer con una transformación afín adecuada para mover las puntuaciones a cero y a uno. Una descripción alternativa es: eta(z)^24/(eta(z/2)^8 eta(2z)^16).

Esta función surge en el monstruo: eta(z)^8/eta(4z)^8 + 8 es el carácter graduado de un elemento de orden cuatro, en la clase de conjugación 4C en el monstruo, actuando sobre el álgebra de vértices del monstruo (un espacio vectorial graduado con alguna estructura extra). Es invariante bajo Gamma ₀ (4), que es lo que se obtiene conjugando Gamma(2) bajo el mapa z -> 2z.

Otros elementos del monstruo producen funciones que actúan como coberturas universales para los planos con un comportamiento específico de puntura y orbifolio. Para el caso general de más de 2 pinchazos, hay que utilizar métodos más geométricos, debido a los módulos no triviales. Creo que tu idea de usar funciones hipergeométricas va por buen camino. Creo que el libro de Yoshida, Funciones hipergeométricas, mi amor tiene algunos casos más resueltos.

Answer 3

Tienes razón en ser escéptico, y tienes razón en que los dos conjuntos $\{1,2,3\}$ y $\{2,3,4\}$ no tienen el mayor límite inferior en $S$ . La respuesta de Matt sería correcta si $S$ eran el conjunto de potencia (el conjunto de todos los subconjuntos) de $\{1,2,3,4\}$ para que el encuentro sea intersección y la unión sea unión. Por desgracia, cuando $S$ no contiene todos los subconjuntos, hay que tener más cuidado. La unión debe ser el único conjunto más pequeño en $S$ por encima o igual a la unión, y el encuentro debe ser el único conjunto mayor en $S$ por debajo o igual a la intersección. En este caso, como se observa, $\{1,2,3\}$ y $\{2,3,4\}$ no tienen esa reunión en $S$ .

Answer 4

Creo que estás buscando polilogaritmos. No es sólo una función lo que buscas; el grupo fundamental del plano una vez perforado es cíclico y no tiene una tonelada de representaciones interesantes, mientras que el grupo fundamental del plano dos veces perforado es libre de rango dos y por tanto tiene mucha más carne.

Nótese, sin embargo, que los polilogaritmos tienen todos monodromía unipotente; hay que pensar en ellos como si viéramos, no el grupo fundamental completo de C - 0,1, sino la envoltura algebraica pro-unipotente de éste. Pero como aprendimos en la monografía de Deligne sobre el grupo fundamental de P^1 menos tres puntos, hay una gran cantidad de contenido incluso aquí.

No estoy seguro de qué lectura recomendar para una introducción a esta historia, excepto el propio artículo de Deligne, pero si buscas cosas que contengan alguna combinación de polilogaritmo, multizeta e integral iterada encontrarás toneladas; entre ellas, encuentra algo que se adapte a tus gustos....

Answer 5

La función que quieres es una función modular. La cubierta universal de C \ {0,1} es el semiplano superior; un dominio fundamental es { z : 0 < Re(z) < 1, |z-1/2| > 1/2 }. Este es también un dominio fundamental para la acción de \Gamma_0 (2) en el semiplano superior, donde \Gamma_0 (2) es el grupo de matrices enteras cuya entrada inferior izquierda es par. Hay una construcción estándar de una función modular que tiene esta simetría; pero estoy olvidando la terminología. Seguramente Scott vendrá pronto a completar los detalles que me faltan.

Una buena referencia para este tipo de cosas es Conformal Mapping, de Zeev Nehari.