¿Todas las funciones polinomiales de F a F (F es un campo) tienen coeficientes en F?

Question

Estoy estudiando álgebra abstracta por primera vez.

deje $F$ ser un campo. Me enteré de que los polinomios sobre el campo $F$ significa polinomios con coeficientes en $F$ (denotado por $F[x]$). Pero cuando voy a seguir estudiando, puedo llegar a confundir la palabra, 'funciones polinómicas de$F$$F$'.

En primer lugar, considero esto como la inducida funciones de $F[x]$, por lo que supongo que todos los coeficientes de estas funciones están en $F$. Pero vamos a $F_{4}$ ser un campo finito que consta de cuatro elementos $\{0, 1, a, b\}$. y deje $f: \{0,1\} \rightarrow \{0,1\}$ ser una función definida por $$f(x)=ax^2-ax$$ Desde $\{0,1\}$ es un subcampo de la $F_{4}$ $f(0)=0, f(1)=0$ creo $f$ es un ejemplo de funciones polinómicas de $F$ $F$de que los coeficientes no son en $F$. Estoy equivocado? si es así, por favor que me ayude.

Me encuentro con este problema, mientras que la solución de 'el conjunto de todas las funciones polinómicas de $\Bbb{Z_{3}}$ $\Bbb{Z_{3}}$no puede ser isomorfo a $\Bbb{Z_{3}}[x]$'.

Answer 1

La principal diferencia entre polinómicas y funciones polinómicas es que un polinomio es una expresión algebraica, mientras que una función polinómica es una función.

Más de infinitos campos, la función polinómica identifica el polinomio. Pero en lo finito campos (y esto es exactamente lo que el problema se espera que para identificar), usted podría encontrar diferentes polinomios con exactamente la misma función.

Por ejemplo, en $\mathbb Z/2 \mathbb Z$ la función polinómica correspondiente a $P(X)=X^2-X$ $P(0)=0$ $P(1)=0$...Pero esta es también la función que corresponde a muchos otros polinomios.

Tenga en cuenta también que más de un campo finito, hay sólo un número finito de funciones, pero infinitamente muchos de los polinomios....

Answer 2

El ejemplo $ax^2-ax$ que le dan, se considera como una función de la $2$-elemento de campo en sí, es la misma función como $x^2-x$ o, de hecho, como usted señala, es la misma como la forma idéntica $0$ función.

En general, para cualquier función de $g$ desde el campo finito $F$ a sí mismo, se puede producir un polinomio $P_g$, con coeficientes en $F$, de tal manera que $g(x)=P_g(x)$ todos los $x$$F$. Esto se puede hacer de forma explícita utilizando esencialmente el proceso de interpolación de Lagrange. Permitiendo así que los coeficientes de ir encima de un poco de extensión de campo $K$ $F$ no puede aumentar el número de funciones polinómicas de$F$$F$.

Un fuerte resultado se da infinitos campos. Deje $F$ ser un infinito subcampo de $K$, y deje $P$ ser un polinomio con coeficientes en $K$. Si para todas las $x \in F$,$P(x)\in F$, entonces los coeficientes de $P$$F$.

Answer 3

Como otras respuestas han indicado, una función polinómica sobre un campo finito no está asociado a un único polinomio, por lo que mientras usted ha encontrado un ejemplo de una función polinómica $\Bbb F_2\to\Bbb F_2$ que está asociada a un polinomio con coeficientes en $\Bbb F_4$ (no en $\Bbb F_2$), también se asocia a cero el polinomio (o $X^2-X$) que no han coeficientes en $\Bbb F_2$.

Si su objetivo es sólo para demostrar que el anillo de funciones polinómicas sobre un campo finito $F$ nunca es isomorfo a $F[X]$, entonces hay soluciones fáciles. Más obviamente, un conjunto de funciones de un conjunto finito a sí mismo es siempre finito (tiene en la mayoría de las $n^n$ elementos si el conjunto ha $n$ elementos), mientras que $F[X]$ nunca es finito: el conjunto de monomials $\{\,X^i\mid i\in\Bbb N\}$ es un subconjunto infinito (y una infinita base de $F[X]$ como espacio vectorial ofver $F$). De hecho, es fácil ver que el conjunto de funciones polinómicas sobre un campo finito $F$ es igual al conjunto de todas las funciones de $F\to F$ (que es suficiente para producir los polinomios que tienen sus raíces en todos los puntos de $F$ sino uno, y luego tomar las combinaciones lineales para producir cualquier función). Es de destacar que, a diferencia de $F[X]$, el conjunto de funciones polinómicas $F\to F$ no es una integral de dominio al $F$ es finito: cualquier polinomio distinto de cero $P$ con al menos una raíz tiene asociada una función polinómica que es un divisor de cero, como puede ser multiplicado por el producto de los factores de $X-a$ donde $a$ se ejecuta a través de la no-raíces de $P$ para producir un polinomio cuya función polinómica se desvanece en todas partes.

Sin embargo, la pregunta en el título merece una respuesta: dado un campo de $F$ y una función de $F\to F$ que se obtiene a partir de un polinomio, pero con coeficientes en una extensión de $F$, puede siempre (también) se obtiene a partir de un polinomio en $F[X]$? Si $F$ es finita, esto es trivialmente así porque cada función $F\to F$ puede ser obtenida así, entonces la pregunta es, esencialmente, acerca de los infinitos $F$. Aquí las respuestas todavía es afirmativa (y desde el polinomio para los cuales la función está asociada es único en esto, uno puede concluir que en este caso los "coeficientes en una extensión de $F$" debe haber sido en $F$ en el primer lugar). Una prueba de la siguiente manera a partir de la fórmula de interpolación de Lagrange: si $f$ es una función polinómica de un polinomio de grado $d$ con coeficientes en un campo, entonces los valores de $f$ $d+1$ distintos puntos de permiso de construcción de un polinomio de grado $d$ cuya función polinómica de acuerdo con $f$ en esos puntos, y que por ende debe ser el polinomio original (ya que un polinomio de grado $d$ puede tener en la mayoría de $d$ raíces). Si los puntos son elegidos en un (sub -) $F$ y la correspondiente a $d+1$ valores de $f$ mentira en $F$, luego lo hacen los coeficientes de la interpolación de Lagrange polinomio: se obtiene un polinomio en $F[X]$.

En el caso de $F$ es un campo finito $\Bbb F_q$, esto muestra que a pesar de (polinomio) funciones de $F\to F$ están asociados a (infinitamente) muchos de los polinomios, están asociados a un único polinomio de grado estrictamente menor que $q$.