Demostrar que $\mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{C}$

Question

Demostrar que $\mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{C}$

Esto no es una tarea, es parte de una respuesta de Demostrar que $\mathbb{A}_\mathbb{C}^2 \ncong \mathbb{A}_\mathbb{C}^1 \times_{Spec(\mathbb{Z})} \mathbb{A}_\mathbb{C}^1$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

De hecho $a\otimes b\mapsto a\otimes b$ es un isomorfismo $A\otimes_DB\leftrightarrow A\otimes_FB$ como espacios o $D$ -para cualquier espacio/álgebra $A$ y $B$ sobre un campo $F$ que es el campo de la fracción de un dominio $D$ . La razón es que

$$\begin{array}{ll} \displaystyle \color{Blue}{\frac{1}{y}}a\otimes b & \displaystyle =\frac{1}{y}a\otimes \color{Green}{y}\frac{1}{y}b \\ & \displaystyle =\color{Green}{y}\frac{1}{y}a\otimes \frac{1}{y}b \\ & \displaystyle =a\otimes\color{Blue}{\frac{1}{y}}b. \end{array}$$

Utilizando el hecho de que $A$ y $B$ son divisibles, podemos mover los inversos a través de la $\otimes_D$ símbolo simplemente moviendo el denominador a través del otro lado. Por lo tanto, cualquier fracción en $F$ puede ser movido.

(Te dejo que conviertas estos pensamientos en una prueba con el nivel de rigor deseado).