Probar$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {n\ln(n)\ln\ln{n}}$ es divergente.

Question

Evaluar si la siguiente serie es convergente o divergente: $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {n\ln(n)\ln\ln{n}}$.

No puedo entender correctamente la notación de que el libro emplea aquí $\ln\ln(x)$, pero supongo que se está refiriendo a $\ln(\ln(x))$. Asumiendo $\ln \ln(x)=\ln(\ln(x))$,

He utilizado el de Weierstrass o comparasion de prueba para evaluar la serie:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {n\ln(n)\ln\ln{n}}<\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {n\ln(n)\ln(n)}=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {n\ln^2{n}}<\sum_\limits{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2},$$ demostrar que la serie converge. Sin embargo, la solución de punto de la serie diverge.

Ya he probado la convergencia $\sum_\limits{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}$.

Pregunta:

¿Qué estoy haciendo mal? Cómo puedo probar que la serie diverge? Es $\ln\ln(x)=\ln(\ln(x))$ entiende por el autor del libro?

Answer 1

Su serie difiere por la prueba integral, porque$$\int\frac1{x\log(x)\log\bigl(\log(x)\bigr)}\,\mathrm dx=\log\bigl(\log\bigl(\log(x)\bigr)\bigr)$$and because $ \ lim_ {x \ to + \ infty} \ log \ bigl (\ log \ bigl (\ log (x) \ bigr) \ bigr) = + \ infty $.

Con respecto a su enfoque, tenga en cuenta que la desigualdad$\frac1{n\ln^2n}<\frac1{n^2}$ es falsa. De hecho,$n\ln^2n<n^2$.

Answer 2

INSINUACIÓN

Vamos a usar la prueba de condensación de Cauchy

PS

PS

y

PS

Answer 3

Otra forma es usar la prueba de condensación de Cauchy. Generalmente es una buena opción cuando hay logaritmos. Tienes que usarlo dos veces aquí.

Answer 4

Alternativamente, use la prueba de Ermakoff:$$\lim_\limits{x\to\infty} \frac{e^xf(e^x)}{f(x)}=\lim_\limits{x\to\infty} \frac{e^x\cdot \frac{1}{e^x\cdot x\cdot \ln x}}{\frac{1}{x\cdot \ln x\cdot \ln \ln x}}=$ $$$\lim_\limits{x\to\infty} \ln \ln x=\infty.$ $ Por lo tanto, la serie diverge.