¿Cómo probar un hecho sobre la suma de tres cuadrados?

Question

Cómo iba yo a ir a probar el siguiente?

Si $a$, $b$, $c$, $n$ son enteros positivos, entonces

$a^2+b^2+c^2 \neq 2^nabc$

He intentado hacer algo similar a la prueba de Adrien-Marie Legendre Tres Cuadrados teorema: $a^2+b^2+c^2=n$ fib no hay enteros $k$, e $m$, de modo que $n=4^k(8m+7)$. Que no salieron bien...

$2^nabc$ es siempre igual. Así que si $a^2+b^2+c^2 = 2^nabc$, $a^2+b^2+c^2$ debe ser par.

Eso significa que hay $a_1$, $b_1$, $c_1$ así que $a = 2a_1$, $b = 2b_1$, y $c = 2c_1$

Así $(2a_1)^2+(2b_1)^2+(2c_1)^2 = 2^nabc \rightarrow 2(2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2)= 2^nabc$

y llegamos $2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2= 2^{n-1}abc$

Podemos seguir para hacer este procedimiento con $a_2$, $b_2$, $c_2$ entonces $a_3$, $b_3$, $c_3$ entonces ... $a_n$, $b_n$, $c_n$.

Con $a_n$, $b_n$, $c_n$ nos gustaría conseguir

$2^na_n^2+2^nb_n^2+2^nc_n^2= 2^{n-n}abc=abc$

Desde $a_n=2a_{n-1}$$a_0=a$,

$a_n = \frac{a}{2^n}$

y llegamos

$2^n(\frac{a}{2^n})^2+2^n(\frac{b}{2^n})^2+2^n(\frac{c}{2^n})^2=abc$

Esto sólo se convierte en la ecuación original. $a^2+b^2+c^2 = 2^nabc$

Answer 1

Dado que el lado derecho es par, ya sea exactamente uno o los tres de$a,b,c$ deben ser pares.

El primer caso es imposible, como puede ver fácilmente tomando ambos lados mod 4.

En este último caso, deje que$2^k$ sea la mayor potencia de 2 en el GCD de$a,b,c$. Entonces

$$\left(\frac{a}{2^k}\right)^2 + \left(\frac{b}{2^k}\right)^2 + \left(\frac{c}{2^k}\right)^2 = 2^{n+k} \frac{a}{2^k} \frac{b}{2^k} \frac{c}{2^k},$ $ con al menos uno de los términos en el lado izquierdo impar, y estamos de vuelta en el caso 1.

EDITAR: Tenga en cuenta que$n>0$ es esencial. Cuando$n=0$,$$3^2 + 3^2 + 6^2 = 54 = 3\cdot3\cdot6.$ $

Answer 2

Para pasar de$a^2+b^2+c^2$ incluso a$a,b,c$ incluso en este caso, necesita un argumento, aunque es cierto para$n$ estrictamente positivo.

Debe intentar expresar su ecuación solo para$a_k$,$b_k$ y$c_k$, luego verá que su argumento no termina después de los pasos de$n$. O bien, argumentan con un descenso infinito o de manera equivalente, se dividen inmediatamente por el mayor factor posible de 2.