Preguntas sobre la norma del operador.

Question

Estoy leyendo sobre el análisis funcional y he encontrado la definición del operador de la norma, si usted tiene $(X,\|\|_1)$ $(Y,\|\|_2)$ normativa espacios, entonces el conjunto $\mathcal{L}_{\|\|_1,\|\|_2}(X,Y) := \{T:X \to Y \text{ linear }: \sup\{ \|T(v)\|_2: \|v\|_1 = 1 \} < \infty \}$ tiene una norma definida por $\|\|_1$ $\|\|_2$ e hijo. Mis preguntas son:

1. Si $\mathcal{L}_{\|\|_1,\|\|_2}(X,Y) = \mathcal{L}_{\|\|'_1,\|\|_2}(X,Y)$, entonces, puedo asegurar que $\|\|_1$ $\|\|'_1$ son equivalentes? Tenga en cuenta que esto se generaliza el hecho de que todas las normas en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes, ya que cualquier operador lineal es continuo con cualquier norma en $\mathbb{R}^n$. Del mismo modo con el otro lado,

2. Si $\mathcal{L}_{\|\|_1,\|\|_2}(X,Y) \subseteq \mathcal{L}_{\|\|'_1,\|\|_2}(X,Y)$, ¿puedo decir algo? Y al igual que antes con el otro lado,

3. Si tengo un subespacio $Z$$\mathbb{L}(X,Y)$, a continuación, existen normas que $Z = \mathcal{L}_{\|\|_1,\|\|_2}(X,Y)$.

Pido disculpas si mis preguntas no son interesantes, muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

1) Sí. Considere la posibilidad de que los operadores de la forma $T(x) = \phi(x) y$ donde $\phi$ es un delimitada lineal funcional en $(X, \|\cdot\|_1)$ $ y \in Y$ es fijo. A continuación,$\|T\| = \|\phi\| \|y\|$. Así que si ${\cal L}_{\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2}(X,Y) ={\cal L}_{\|\cdot\|'_1,\|\cdot\|_2}(X,Y) $, $X$ debe tener el mismo delimitada lineal funcionales en las dos normas. Ahora el espacio dual $X^*$ es un espacio de Banach. Deje $B$ ser la unidad de la bola de $X$ $\|\cdot\|_1$ norma, pero el uso de la norma en $X^*$ correspondiente a la $\|\cdot\|'_1$ norma. La norma de $x \in X$, considerado como un funcional lineal en $X^*$, es entonces la $\|\cdot\|'_1$ norma. Para cada $\phi \in X^*$, $\{|\phi(x)|: x \in B\}$ está acotada. Por lo tanto, por el acotamiento uniforme principio, $\{\|x\|'_1: x \in B\}$ está acotada. Así para algunas constantes $C$, $\| \cdot \|'_1 \le C \| \cdot \|_1$. Del mismo modo, en la otra dirección.