Demostrando que$x_1=1, x_{n+1}=\frac{(x_n+1)}{5}$ converge

Question

$x_1=1, x_{n+1}=\frac{(x_n+1)}{5}$

Sé que la secuencia converge a$\frac{1}{4}$ pero no estoy seguro de cómo mostrarla.

Answer 1

Aquí hay otra toma.

Si la recursión fuera$y_{n+1}=\dfrac{y_n}{5}$, entonces sería fácil: $$ y_ {n +1} = \ dfrac {y_1} {5 ^ {n-1}} \ a 0 $$

Intentemos obtener este formulario configurando$y_n = x_n + b$ para algunos$b$. Tenga en cuenta que$x_n$ converge si converge$y_n$. Al insertar$y_n = x_n + b$ en la recursión para$x_n$, encontramos$b=-1/4$. Por lo tanto, $$ x_n = y_n + \ frac14 \ a 0+ \ frac14 = \ frac14 $$ Esto también da $$ x_n = y_n + \ frac14 = \ frac {y_1} {5 ^ {n-1}} + \ frac14 = \ frac34 \ frac {1} {5 ^ {n-1}} + \ frac14 $$ como se menciona en otra respuesta.

Answer 2

Mostrar por inducción:$x_{n+1}=\frac{3}{4}\frac{1}{5^n}+\frac{1}{4}$ para$n \ge 1$.

Answer 3

La secuencia está delimitada arriba por$1$ ya que para todos los$n$ tenemos$x_n\leqslant 1$. Además, por cada$n$ tenemos$x_n\geqslant 1/4$. Esto puede comprobarse por inducción. Para$n=1$ está claro. Supongamos que se mantiene para$n$ luego$$x_{n+1}=\frac{x_n+1}{5}\geqslant\frac{1/4+1}{5}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ $ También$(x_n)$ es monotónico ya que$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n+1}{5}-x_n=\frac{1-4x_n}{5}\leqslant 0$ $ (de hecho, monotónico disminuye). Por secuencia de Bolzano-Weierstrass$(x_n)$ converge a algún punto$x$ así que$$\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n+1}{5}\Rightarrow x=\frac{x+1}{5}\Rightarrow x=1/4$ $

Answer 4

Si converge, converge a$\dfrac14$ porque

PS

Ahora deja $$\frac14=\frac{\dfrac14+1}5.$. La recurencia lee

$y_n:=x_n-\dfrac14$ $ que se simplifica a una recurrencia geométrica,

PS

la solución de la cual es

PS

Answer 5

Insinuación:

La secuencia$\left\{x_n\right\}$ está disminuyendo y delimitada a continuación por$0$, por lo que es convergente. Luego$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x_n+1}5\right)$ $ Let$x=\lim_{n\to\infty}x_n$, así que \begin{align*} x&=\frac{x+1}{5}\\ 5x&=x+1\\ x&=\frac14 \end {align *}