Proceso de prueba de Poisson donde se da$X(t)$ en tiempos fijos

Question

Tengo un discreto proceso estocástico $X(t)$ que creo que es un proceso de Poisson, que es el valor de $X(t)$ tiempo $t$ es una variable aleatoria de Poisson con parámetro de $\lambda t$ y distintos intervalos se supone que para ser independiente.

Debido a la naturaleza de los datos sólo tengo los valores de $X(t)$ a los discretos y tiempos fijos $t_1, t_2, .., t_n$. Lo que significa que en lugar de tener una sola saltos de tamaño que tengo saltos de varios pasos entre los tiempos de $X(t)$ que se mide.

Los tiempos de $t_1, t_2, .., t_n$ no son los reales " de la llegada de los tiempos del proceso de Poisson. Son, simplemente, los tiempos de cuando el 'observador' ha decidido revisar el proceso del valor de X(t). El real de la llegada de los tiempos " son completamente desconocidas.

¿Tiene sentido pensar en $X(t)$ como un proceso de Poisson cuando los tiempos exactos de la llegada son desconocidos? O es un esfuerzo inútil?

Si tiene sentido, hay pruebas de una recomendaría en este contexto?

Answer 1

Una respuesta depende en parte de lo que significa la palabra "prueba".

Si usted es después de un formal de la prueba de hipótesis, se podría intentar realizar algunos test basado en la probabilidad o el registro de la probabilidad (como por Pescador) o si hay una alternativa específica a través de una prueba de razón de verosimilitud, a pesar de que varias de las pruebas que podrían ser diseñado según clases más amplias de las alternativas que deben realizar bastante bien.

Mi consejo no sería para perseguir formal de las pruebas de bondad de ajuste. Nuestros modelos son (generalmente) más que eso, los modelos, no es perfecto descripciones. Como tal en las grandes muestras que están claramente equivocados (aunque el modelo puede ser una muy buena descripción de lo que estamos modelado) y en muestras pequeñas el hecho de que no podemos decir claramente que estos modelos están equivocados debe ser no es un consuelo, ya que en una pequeña muestra incluso una muy pobre modelo puede ser difícil de identificar claramente. Claramente un modelo equivocado - uno se podría rechazar a través de una prueba puede seguir siendo muy útil, si la desviación de la corrección tiene pequeños efectos en nuestra inferencia (es decir, estamos tratando más con raw-efecto de tamaño tipo de problemas, en lugar de la significación estadística)

Como tal, me gustaría tienden a inclinarse hacia el diagnóstico de la muestra en lugar de pruebas formales, aunque si se puede ser mucho más específico sobre lo que los efectos de la materia, no pueden ser algunos de los usos para las pruebas.

Un enfoque para la muestra sería comprobar la media de la varianza de la relación. En particular, si dejamos $Y_i$ $i$- th incremento en número y dejamos $s_i$ ser el correspondiente incremento en el tiempo, a continuación, en virtud de la asunción de Poisson $Y_i\sim \text{Pois}(\lambda s_i)$. Si es de Poisson, la media debe ser proporcional a $s_i$ y la varianza debe ser proporcional a $s_i$ (o desviación estándar proporcional a $\sqrt{s_i}$).

Esto es más fácil de ver en la raíz cuadrada de la escala. Si la distribución de Poisson significa que no son normalmente muy pequeñas (por lo que las observaciones no son casi todos de 0 o 1) se puede representar cualquiera de las $\sqrt{y_i+\frac38}$ o $\sqrt{y_i}+\sqrt{y_i+1}$ contra $\sqrt{s_i}$ -- uno debe buscar aproximadamente lineal con bastante constante de propagación:

La primera transformación en el Anscombe transformación de la distribución de Poisson, la segunda es la de Freeman-Tukey transformación.

Es posible ajustar el $\sqrt{s_i}$ para cada parcela, para estar más cerca del valor esperado de la transformada $Y$ pequeña $\lambda s_i$, lo que puede mejorar el aspecto de la trama un poco cuando la media es menor, pero normalmente no es necesario.

Hay otras opciones que pueden funcionar tan bien.

Usted podría incluso considerar la posibilidad de un examen de una elección adecuada de los residuos vs equipada y una escala vs equipado de una constante-sólo Poisson glm ajuste con registro de enlace y un desplazamiento de $\log(s_i)$, pero puede ser mucho más difícil de interpretar. Este es uno donde el modelo es correcto (los mismos datos que el anterior):

(Personalmente creo que el anterior parcelas más fácil para el juez)