Encontrar la varianza del estimador para la probabilidad máxima de la distribución de Poisson

Question

Si$K_1, \dots, K_n$ son distribuciones de iid Poisson con el parámetro$\beta$, he calculado que la estimación de probabilidad máxima es$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ for data $ k_1, \ dots, k_n$. Therefore we can define the corresponding estimator $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$ $ Mi pregunta es ¿cómo calcularía la variación de este estimador?

En particular, como cada$K_i$ sigue una distribución de Poisson con el parámetro$\beta$ Sé, por las propiedades de Poisson, que la distribución$\sum_{i=1}^n K_i$ seguirá una distribución de Poisson con el parámetro$n \beta$, pero ¿cuál es la distribución de$T$?

Answer 1

$T$ se distribuye ... como una variable de Poisson escalada por$n$. Por lo tanto, la varianza de$T$ es$1/n^2 \times n\beta$.

Answer 2

Recuerde que $$ \ mathbb {Var} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n a_i X_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ n a_i ^ 2 \, \ mathbb {Var} (X_i) + 2 \ sum_ {1 \ leq i <j \ leq n} a_i \, a_j \, \ mathbb {Cov} (X_i X_j) \,, $$ siempre. Pero, si los$X_i$ 's son independientes, ¿cuál es el valor de$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$? Eso es todo lo que necesitas para responder la pregunta.