La desigualdad de Poincare implica normas equivalentes

Question

Actualmente estoy trabajando en el tema de Sobolev Spaces utilizando el libro 'Ecuaciones diferenciales parciales' de Lawrence Evans. Después del resultado que demuestra la desigualdad de Poincare, dice lo siguiente en el libro (página 266.) "En vista de la desigualdad de Poincare, en$W_{0}^{1,p}(U)$ la norma$||DU||_{L^{p}}$ es equivalente a$||u||_{W^{1,p}(U)}$, si $U$ está ligado." ¿Conoces el argumento detrás de esta afirmación?

Answer 1

$$ \ | Du \ | _ {L ^ p (U)} \ le \ | Du \ | _ {L ^ p (U)} + \ | u \ | _ {L ^ p (U)} = \ | Du \ | _ {W_0 ^ {1, p} (U)} \ le (1 + C) \, \ | u \ | _ {L ^ p (U)} $$ donde$C$ es la constante En la desigualdad de Poincaré.

Answer 2

Esto aplica a $1 \leq p < n$. Desea constantes$B_{1}$ y$B_{2}$ tales que$B_{1}||u||_{W_{0}^{1,p}(U)} \leq ||Du||_{L^{p}(U)} \leq B_{2}||u||_{W_{0}^{1,p}}$. La desigualdad$||Du||_{L^{p}(U)} \leq B_{2}||u||_{W_{0}^{1,p}}$ es trivial.

Desde la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev tenemos:$||u||_{L^{p*}(U)} \leq C||Du||_{L^{p}(U)}$ donde$p* := \frac{np}{n-p}$$p* > p$.

También tenemos$||u||_{L^{q}(U)} \leq C||u||_{L^{p*}(U)}$ si$1\leq q \leq p*$ por desigualdad del titular generalizado.

Si tomamos$A = \frac{1}{c^{2}}$ y$q=p$, entonces tenemos$A||u||_{L^{p}} \leq ||Du||_{L^{p}}$ entonces, ya que$||u||_{W_{0}^{1,p}} \leq A||u||_{L^{p}} + A||Du||_{L^{p}} \leq (1+A)||Du||_{L^{p}}$ sigue que$\frac{A}{A+1}||u||_{W_{0}^{1,p}} \leq ||Du||_{L^{p}}$

Tomar $B_{1} := \frac{A}{A+1}$.

El resultado se deriva de la combinación de las dos desigualdades.