Por qué $Hx=x-(\rho u^Tx)u$ ?

Question

Una reflexión de Householder es una matriz de la forma $$H=I-\rho uu^T$$ con $\rho=2/\|u\|^2$ . Obviamente, $Hx=x-\rho uu^Tx$ .

Libro de texto http://www.mathworks.se/moler/leastsquares.pdf dice que $$Hx=x-(\rho u^Tx)u$$

Sin embargo, no veo la prueba de esta afirmación.

Answer 1

Tenga en cuenta que $u^t x \in \mathbb R$ es un escalar, y la multiplicación escalar $(\lambda,u) \mapsto \lambda u$ se suele escribir a la izquierda, por lo que $$ Hx = x - \rho u u^tx = x - (\rho u^t x)u. $$

Answer 2

Su pregunta se reduce a: ¿por qué $(uu^T)x = (u^Tx)u$ ? En realidad hay cuatro razones:

1. La multiplicación de matrices es asociativa. Por lo tanto, $(uu^T)x=u(u^Tx)$ .
2. Tenga en cuenta que $u^Tx$ es un $1\times1$ matriz cuya única entrada es el escalar $s:=\langle u,x\rangle=\sum x_iu_i$ . Así que, $u^Tx=[s]$ donde el par de corchetes se utiliza para indicar que $u^Tx$ es una matriz.
3. Ahora viene un punto que es a la vez sutil y obvio: $u[s]=su$ . Obsérvese que el LHS es un producto de la matriz (an $n\times1$ multiplicada por una matriz $1\times1$ ) mientras que el RHS es una multiplicación escalar (el vector $u$ está escalado por el escalar $s$ ). Esta igualdad es quizás tan obvia que se da por sentada y no se discute en la mayoría de los libros de texto.
4. Por lo tanto, $(uu^T)x=u(u^Tx)=u[s]=su$ . Ahora, si tenemos identificar $s$ con $[s]$ podemos reescribir $su$ como $(u^Tx)u$ . Por lo tanto, $(uu^T)x=(u^Tx)u$ .

Answer 3

Porque

$$(uu^T)x = u(u^Tx)$$

$u^Tx$ no es un vector.

así que

$u(u^Tx) = (u^Tx)u$