Encuentra$5$ números donde la suma de todos los pares da los resultados$110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121$

Question

Encontrar $5$ números donde la suma de los pares proporciona los resultados $110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121$

He estado tratando en esta pregunta por algún tiempo y parece fácil a primera vista, pero más tarde, yo era incapaz de inicio en la pregunta. Traté de convertir a estos en las ecuaciones con las $a_1, a_2, a_3, a_4, \text{ and }a_5$ pero no podía ya que no se determina que $2$ números de dar que suma. Yo estaba, sin embargo, capaz de lograr que $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=289$ (que es obvio). Ahora es de todos modos yo podría continuar sin tener que adivinar. Gracias.

Answer 1

Como no hay duplicados entre el par de sumas de dinero, de los cinco números son distintos. Así wlog. $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$. A continuación, $110=a_1+a_2$, $112=a_1+a_3$, lo que hace que $a_3=a_2+2$. Del mismo modo, nos encontramos con $a_4=a_3+1$ a partir de las dos últimas entradas $120,121$. Hasta ahora hemos encontrado que los números son $$a_1, a_2, a_2+2, a_2+3, a_5.$$ Esto también nos dice que $a_1+a_4=113$ y que $a_2+a_5=118$. Ahora que las tres cantidades par de $a_2+a_3=2a_2+2$, $a_2+a_4=2a_2+3$, $a_3+a_4=2a_2+5$ debe ocurrir entre los $114,115,116,117$. El único partido que $a_2+a_3=114$, es decir, $a_2=56$. El resto sigue fácilmente desde aquí.