Si $\limsup_n\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{r}$, $\limsup_n\sqrt[n]{(n+1)a_{n+1}}=?$

Question

Si $\limsup_n\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{r}$, $\limsup_n\sqrt[n]{|(n+1)a_{n+1}|}=?$

Puedo separar el producto de la segunda límite como $$\limsup_n\sqrt[n]{|(n+1)a_{n+1}|}=\limsup_n\sqrt[n]{(n+1)}\limsup_n\sqrt[n]{|a_{n+1}|}$$since the first limit exists and $\sqrt[n]{(n+1)}$ is bounded, if not does the RHS majorize LHS, so that I deduce the limit is also $\frac{1}{r}$

(Ejercicio Original: Si $\sum_na_nz^n$ tiene radio de convergencia $r$, por lo que ha $\sum_n na_nz^{n-1}$)

Answer 1

Es que no es cierto, en general, que si $x_n,y_n$ son secuencias, a continuación, $$\limsup x_ny_n = (\limsup x_n)(\limsup y_n).$$

Por ejemplo, si $$x_n=\begin{cases}1&n\text{ even}\\2&n\text{ odd}\end{cases}$$ and $y_n=\frac{2}{x_n}$, then $\limsup x_n=\limsup y_n = 2$, but $\limsup x_ny_n = 2\neq 2\cdot 2$.

Pero si $x_n$ converge a un valor positivo, es cierto.