K la teoría de finito dimenional álgebras de Banach

Question

Hay una referencia en el que se estudió el K la teoría de finito dimensionales álgebras de Banach? En particular, hay un número finito de dimensiones álgebra de Banach cuyas $K_{0}$-grupo no trivial finito grupo?(Lo siento si la última pregunta es de primaria)

Edit: Lo que es una generalización del teorema de Taylor, para no conmutativa álgebras de Banach(En particular finito dimensionales no conmutativa álgebras de Banach".(He leído de este teorema en papel Por J. Rosenberg, "Comparación entre algebraicas y Topológicas K teoría")

"Teorema 2: Taylor Si a es unital conmutativa álgebra de Banach y ifX es su máxima espacio ideal, entonces el Gelfand transformar a → C(X) induce un isomorfismo en topológica de la K-teoría".

Tenga en cuenta que este teorema implica que para que un conmutativa álgebra de Banach de dimensión finita, la K_{0} grupo no puede ser no trivial finito grupo.

Answer 1

Deje $A$ ser finito-dimensional álgebra de Banach. El grupo $K_0(A)$ sólo depende de la subyacente estructura de anillo de $A$. En lo que sigue, $A$ puede ser cualquier finito-dimensional de álgebra sobre un campo arbitrario $k$,$A\neq 0$. El mapa de $\{\text{finitely generated projective $$-modules}\}\mapsto \mathbb Z$ $P\mapsto\dim_kP$ está bien definido (ser $A$ finito-dimensional cualquier f.g. $A$-módulo) isomorfismo invariante, aditivo, y no trivial desde $A\neq 0$, por lo tanto, se extiende a un no-trivial homomorphism $K_0(A)\rightarrow \mathbb{Z}$. La imagen es un no-trivial subgrupo de $\mathbb Z$, todos los cuales son infinitos cíclica (y, obviamente, proyectiva), por lo tanto $K_0(A)$ no puede ser finito (que en realidad contiene un infinito cíclico directa sumando).