Muchos, de hecho, todos los libros sobre la topología me han llegado a través de definir abrir establece de la siguiente manera:
"Un conjunto $A$ dijo estar abierto si moviendo en pequeñas cantidades en cualquier dirección sobre cualquier punto la tierra en un punto que pertenece a la misma".
Es así que un conjunto abierto es siempre una colección de puntos? O ¿existe una definición general de bloques abiertos, sin tomar en consideración?
"se mueve en pequeña cantidad" sólo es relevante a la métrica de los espacios.
Para un espacio topológico $X$ con topología $\tau$, $A$ es abierto si $A \in \tau$. Sentido, se define la topología de la definición de lo que es un conjunto abierto en la topología.
Por ejemplo, si define una topología $\tau = \{\phi, \{a\}, \{a,b\}\}$ sobre un espacio finito $ X = \{a,b\}$, $A$ está abierto el fib $a \in A$ o $A$ está vacía.
El "pequeñas cantidades en cualquier dirección" la idea no tiene traducción directa a la topología, pero otra idea similar tiene una definición exacta de la topología: aquí, abrir los conjuntos son intuitivamente aquellos conjuntos que rodean todos los puntos que contienen.
La justificación de esto es la siguiente:
Comience con cualquier espacio topológico y dos subconjuntos $A$ $B$ dentro de ese espacio. Ahora en un plano antiguo, $A$ $B$ se cruzan o no. Sin embargo, en un espacio topológico, se puede formalizar la idea de que $A$ $B$ 'touch', si en realidad no se cruzan. Decir que $A$ $B$ 'toque' si cada conjunto abierto que contiene a $A$ intersecta $B$ o cada conjunto abierto que contiene a $B$ intersecta $A$ [referencia para el futuro: esto sucede iff 'el cierre' de los dos conjuntos se cruzan en el sentido usual de la palabra].
Por ejemplo, en la línea real, $A = [0,1)$ 'toques' $B = [1,2]$. Por qué? Porque cualquier intervalo abierto que contiene a $B$ se vierte suficiente para detectar una intersección con el cercano conjunto $A$.
De nuevo a la idea de abrir establece como rodeando conjuntos. Por definición, cualquier punto en el interior de un conjunto abierto $U$ automáticamente no tocar nada de lo que fuera, ya que por definición el conjunto abierto $U$ es la prueba de que no!
Esto le da una (hay que reconocer que bastante vaga) sensación de que por un punto en un conjunto abierto es espacialmente separados de los puntos fuera de ese conjunto abierto.
Si usted tiene un "espacio" o el "set" $X$ con puntos de $x$, entonces cualquier subconjunto $A\subset X$ es una colección de puntos $x\in X$ $-$ no hay forma de evitar eso. Si algunos de estos conjuntos de $A$ se declaró "abierto" necesariamente "se componen de puntos de $x$, y si uno quiere describir lo que la "apertura" de un conjunto $A$ significa que uno se ve obligado a hablar de los puntos de $x\in A$$\notin A$.
Con el fin de obtener una sensación de "apertura" uno tiene que hablar de "los barrios". Es la esencia misma de la noción de "topología" en un conjunto $X$ que cada punto de $x\in X$ posee un sistema de ${\cal V}(x)$ de los vecindarios $V$$x$. Un barrio de $x$ es un preferentemente pequeño conjunto $V\subset X$ que contiene $x$ ${\it all}$ $x'\in X$ que son "lo suficientemente cerca" $x$. Lo "suficientemente cerca" significa que es descrito por los axiomas (que, obviamente, son cumplidas si la cercanía está definido por una métrica), por ejemplo, si $V$ es un barrio de $x$ $V$ es también un barrio de todos los puntos de $x'$ "cerca" $x$.
Es esencial que ${\cal V}(x)$ contiene "arbitrariamente pequeño" establece, como las bolas de radio ${1\over n}$ arbitrariamente grande,$n$.
Teniendo todo esto en mente, un subconjunto arbitrario $A\subset X$ se declara abierta, si $A$ es un barrio de cada uno de sus puntos $x$. Esto significa que por cada punto de $x\in A$ el conjunto $A$ contiene todos los puntos de $x'\in X$ que son lo suficientemente cerca de a $x$.
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