Si Euler Totient función falla de otros métodos para encontrar el resto de la exponenciación modular

Question

Exponenciación Modular el uso de Euler Totient Función para la siguiente pregunta. $$ 128 ^{343} \mod 527 $$ usando totient función. ¿Hay algún otro método para encontrar el resto de la pregunta de si totient función falla? Por favor me proporcione algunos valiosa respuesta de Euler totient o de la función de dar a los otros métodos para aprender

Answer 1

$$128=2^7$$

$$\implies128^{343}=(2^7)^{343}=2^{2401}$$

Ahora el uso de Carmichael Función, $$\lambda(527)=240$$

$\implies2^{2401}\equiv2^{2401\pmod{240}}\equiv2^1\pmod{527}$

Answer 2

$ 527=31\times 17$

$ 128^{343}\equiv 9^{343}\equiv 9^{16\times21+7}\equiv 9^7\equiv 3^{14}\equiv3^{-2}\equiv 6^2\equiv 2 \pmod {17}$

(Nota: el uso de Fermat poco teorema.)

$ 128^{343}\equiv 4^{343}\equiv 4^{30\times 11+13}\equiv 4^{13}\equiv 2^{26}\equiv2^{5\times5+1}\equiv 2 \pmod {31} $

Por lo tanto, $128^{343}\equiv 2 \pmod {527}$.