Prueba de la ecuación con coeficientes binomiales: $\sum\limits_{k=1}^{n} (k+1) \binom{n}{k} = 2^{n-1} \cdot (n+2)-1$

Question

$$\sum\limits_{k=1}^{n} (k+1) \binom{n}{k} = 2^{n-1} \cdot (n+2)-1$$

Tal vez sea sencillo probar esta ecuación, pero no estoy seguro de cómo llevar a cabo la inducción. ¿Alguna pista para esto? ¿O puedo utilizar otro método?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Comience con $$ (1 + x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}. $$ Multiplicar por $x$ para conseguir $$ x (1 + x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1}. $$ Diferenciar para obtener $$ (1 + x)^{n} + n x (1 + x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} (k + 1) \binom{n}{k} x^{k}. $$ Set $x = 1$ para conseguir $$ 2^{n} + n 2^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} (k + 1) \binom{n}{k}, $$ que es precisamente su identidad, excepto por el final $-1$ que creo que es incorrecto.

Answer 2

No es del todo correcto como se indica. Prueba con $n=1$ por ejemplo: el lado izquierdo es

$$1\binom10+2\binom11=3=2^0\cdot3\;,$$

no $2^0\cdot3-1$ . Puede obtener la identidad correcta fácilmente de la identidad $k\binom{n}k=n\binom{n-1}{k-1}$ :

$$\begin{align*} \sum_{k=0}^n(k+1)\binom{n}k&=\sum_{k=0}^nk\binom{n}k+\sum_{k=0}^n\binom{n}k\\ &=n\sum_{k=0}^n\binom{n-1}{k-1}+2^n\\ &=n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k+2^n\\ &=2^{n-1}n+2^n\\ &=2^{n-1}(n+2)\;. \end{align*}$$

Añadido: También es posible una prueba combinatoria. Se tiene un conjunto de $n$ hombres y una mujer. A partir de este grupo, debes formar un comité de cualquier tamaño, excepto que debe incluir a la mujer, y designar a un miembro del comité para que lo presida. Si el comité tiene $k$ hombres, donde $0\le k\le n$ Hay $\binom{n}k$ maneras de elegirlas, y luego hay $k+1$ formas de elegir al presidente de la comisión. Sumando los posibles valores de $k$ vemos que hay

$$\sum_{k=0}^n(k+1)\binom{n}k$$

formas de formar el comité y elegir su presidente.

Alternativamente, podemos elegir la silla primero. Si elegimos una de las $n$ hombres para ser presidente, podemos entonces seleccionar cualquier subconjunto de los restantes $n-1$ hombres y formar el comité a partir de estos hombres y la mujer; esto puede hacerse en $n2^{n-1}$ maneras. Si elegimos a la mujer como presidenta, podemos completar el comité con cualquiera de los $2^n$ subconjuntos del grupo de hombres. Así, hay $n2^{n-1}+2^n$ formas de formar la comisión y elegir su presidente, y el resultado es el siguiente.

Añadido ₂ : Desde el $k=0$ en el lado izquierdo es $1$ la identidad también podría corregirse a

$$\sum_{k=1}^n(k+1)\binom{n}k=2^{n-1}(n+2)-1\;.$$

Answer 3

Otra prueba (sin cálculo). $$\sum\limits_{k=0}^{n} (k+1) \binom{n}{k} = \sum\limits_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}+\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\\ =\sum\limits_{k=1}^{n} n\binom{n-1}{k-1}+2^n =n2^{n-1}+2^n=2^{n-1} \cdot (n+2)$$ que es un poco diferente de su fórmula.

Answer 4

$$\sum_{k=0}^{n} (k+1) \binom{n}{k} =\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}k\cdot\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}=$$ $$=n\sum_{k=0}^{n}\binom{n-1}{k-1}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=$$ $$=n\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=n2^{n-1}+2^n $$

Answer 5

$$k\binom nk=k\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=n\binom{n-1}{k-1}.$$

Entonces la suma original dará lugar a los términos $n2^{n-1}$ y $2^n$ o $2^{n-1}(n+2)$ .

Obsérvese que la suma original tiene $n+1$ términos, mientras que la transformada sólo tiene $n$ . Pero esto no hace ninguna diferencia ya que el primer término es con $k=0$ .