¿Cómo demostrar la fórmula del producto para grupos de homotopía superiores?

Question

Cuando reviso la prueba de Hatcher sobre el hecho $$\pi_{n}(\prod X_{\alpha})=\prod_{\alpha}\pi_{n}(X_{\alpha})$$ He descubierto que no puedo seguirlo. Escribió "Un mapa $f:Y\rightarrow \prod X_{\alpha}$ es lo mismo que una colección de mapas $f_{\alpha}:Y\rightarrow X_{\alpha}$ . Tomando $Y$ para ser $\mathbb{S}^{n}$ y $\mathbb{S}^{n}\times I$ da el resultado. "

Estoy confundido porque el resultado es intuitivo y (probablemente) trivial, pero no veo cómo se conectan su primera línea y la segunda. Es de suponer que la segunda línea significa algo inducido de la proposición anterior sobre los mapas de cobertura, pero aun así no veo cómo usar esto para demostrar la afirmación anterior.

Answer 1

Para cualquier mapa $\mathbb{S}^{n}$ a $\prod X_{\alpha}$ La composición con la proyección nos da $f_{\alpha}\rightarrow \prod X_{\alpha}$ . Así que tenemos un mapa $$F:\pi_{n}\prod X_{\alpha}\rightarrow \prod \pi_{n}(X_{\alpha})$$

Por otro lado, dada una familia de mapas $f_{\alpha}:\mathbb{S}^{n}\rightarrow X_{\alpha}$ por la insinuación de otros puedo formar un mapa $f'：\mathbb{S}^{n}\rightarrow \prod X_{\alpha}$ tal que $f'(x)_{\alpha}=f_{\alpha}(x)$ . Así que tenemos un mapa inverso $$G:\prod \pi_{n}(X_{\alpha})\rightarrow \pi_{n}\prod X_{\alpha}$$ Tenemos $FG=1, GF=1$ . Así que los dos grupos son isomorfos.

Alternativamente podemos probar $F$ es sobreyectiva e inyectiva. Supongamos que $\prod P_{\alpha}\in \prod \pi_{n}(X_{\alpha})$ entonces $G$ lo asigna a $\pi_{n}\prod X_{\alpha}$ . Por $FG=1$ tenemos $FG(\prod P_{\alpha})$ sea $\prod P_{\alpha}$ . Esto demostró $F$ es suryente.

La inyectividad también está clara porque si $p\in \prod \pi_{n}(X_{\alpha})=0$ entonces hay una homotopía nula $I\times \mathbb{S}^{n}$ tal que ${0}\times \mathbb{S}^{n}\rightarrow p$ , ${1}\times \mathbb{S}^{n}\rightarrow 0$ . Entonces $Gp$ también tendría una homotopía nula. Esto demuestra que la correspondencia anterior es uno a uno y onto. El hecho de que $F,G$ son homomorfismos de grupo se siguen directamente de la definición.